тригонометрия

[mon4eto]

В правилна триъгълна призма ABCA1B1C1 всички основни ръбове са с дължина 4 см. Точка N е среда на ръба BC, а точка P е среда на ръба A1B1. Ако ∠(BP, AN) = 45∘, да се намери дължината на AA1.

[S.B.]

Без заглавие (18).png (226.33 KiB) Прегледано 538 пъти

В правилна триъгълна призма ABCA1B1C1 всички основни ръбове са с дължина 4 см. Точка N е среда на ръба BC, а точка P е среда на ръба A1B1. Ако ∠(BP, AN) = 45∘, да се намери дължината на AA1.

Искам да отбележа,че тази задача не би трябвало да има заглавие "тригонометрия",а "стереометрия"
Нека $AA_{1 } = h$
[tex]\angle(AN,BP)[/tex] е ъгъл между две кръстосани прави - т.е.не лежат в една и съща равнина.Ето защо правя следното построение:
Построявам $A_{1 }N_{1 } || AN$ и $A_{1 }P_{1 } || PB$
Сега вече $\angle P_{1 }A_{1 }N_{1 } = \angle (BP,AN) = 45^\circ$
$\triangle AP_{1 }A_{1 } \cong \triangle P_{1 }NN_{1 }$ защото:
$P_{1 }BPA_{1 }$ е успоредник $\Rightarrow P_{1 }B = A_{1 }P = \frac{1}{2}AB \Rightarrow AP_{1 } = \frac{1}{2}AB = 2$
$NP_{1 } = \frac{1}{2}AC = 2$ - ($NP_{1 }$ е средна отсечка)
$AA_{1 } = NN_{1 } = h$
$\angle N_{1 }NP_{1 } = \angle A_{1 }AP_{1 } = 90^\circ$
$\Rightarrow A_{1 }P_{1 } = N_{1 }P_{1 } \Rightarrow \triangle A_{1 }P_{1 }N_{1 }$ е равнобедрен и понеже $ \angle N_{1 }A_{1 }P_{1 } = 45^\circ$ то той е и правоъгълен с хипотенуза $A_{1 }N_{1 }$ ,която се явява височина в равностранния $\triangle A_{1 }B_{1 }C_{1 }$ със страна $= 4 \Rightarrow A_{1 }N_{1 } = 4\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$
От $\triangle AA_{1 }P_{1 }$ и $\triangle P_{1 }NN_{1 }$ по Питагор $\rightarrow A_{1 }P_{1 } = N_{1 }P_{1 } = \sqrt{h^{2} + 4}$
За $\triangle A_{1 }P_{1 }N_{1 }$ по Питагор $\rightarrow A_{1 }N_{1 }^{2} = A_{1 }P_{1 }^{2} + N_{1 }P_{1 }^{2} \Leftrightarrow12 = 2(h^{2} + 4 )\Rightarrow h = \sqrt{2} \Rightarrow AA_{1 } = \sqrt{2}$

[Gruicho]

Искам да отбележа,че тази задача не би трябвало да има заглавие "тригонометрия",а "стереометрия"

Че то не е ли едно и също?

[Knowledge Greedy]

Искам да отбележа,че тази задача не би трябвало да има заглавие "тригонометрия",а "стереометрия"

Че то не е ли едно и също?

Ауу...у !? … … У[tex]У ...У[/tex] !!![tex]^{\ast}[/tex]
________________
[tex]^{\ast}[/tex] Въпрос: Най-краткото порицание
Отговор: [tex]У[/tex]
________________
Gruicho, моля за извинение! Тук демонстрирах, как една емоция може да премине в друга.
Изобщо не взех предвид хубавия снежен ден, продължаващата зима, … датата

[KOPMOPAH]

Че то не е ли едно и също?

Оценявам елегантния тролинг!