Геометрия и вектори

[Гост]

Здравейте! Първо искам да честитя Великден на всички. Надявам се да сте се заредили с много положителна енергия покрай празниците, макар и в това необичайно положение. И въпреки тях, работа никога не спира, визирам задачите по математика Изпитах затруднения конкретно с тези тук. Много ще се радвам на помощ от Ваша страна. Благодаря предварително!

[S.B.]

Зад.15)
[tex]\angle C = \angle D = 90^\circ[/tex]
От $\triangle ABC \rightarrow \frac{BC}{AC} = sin30^\circ \Leftrightarrow BC = AC.\frac{1}{2}$
От $\triangle ACD \rightarrow \frac{DC}{AC} = sin45^\circ \Leftrightarrow DC = AC.\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \frac{BC}{DC} = \displaystyle\frac{\displaystyle\frac{AC}{2}}{\displaystyle\frac{AC\sqrt{2}}{2}} = 1:\sqrt{2}$ (отг. Г)

[KOPMOPAH]

Аз бих използвал синусова теорема

Окръжността е описана и около $\triangle ABC$, и около $\triangle ADC$, значи:$$\frac {BC}{\sin 30^\circ}=2R, ~\frac {BC}{\displaystyle\frac{ 1}2}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{ 1}~~~~~~~(1)$$ $$\frac {DC}{\sin 45^\circ}=2R, ~\frac {DC}{\displaystyle\frac{ \sqrt 2}2}=2R\Rightarrow R=\frac{DC}{\sqrt 2}~~~~~~~(2)$$

От равенствата $(1)$ и $(2)$ получаваме $$\frac{BC}{DC}=\frac{1}{\sqrt 2}$$

Както е посочено по-горе от S.B.- отговор Г)

[KOPMOPAH]

Изразяваме векторите чрез $\overset{\displaystyle \rightarrow}a$ и $\overset{\displaystyle \rightarrow}b$:$$\overset{\displaystyle \rightarrow}{CB}=\overset{\displaystyle \rightarrow}a-\overset{\displaystyle \rightarrow}b$$ $$\overset{\displaystyle \rightarrow}{CQ}=\frac23 \overset{\displaystyle \rightarrow}{CB}=\frac 23\left(\overset{\displaystyle \rightarrow}a-\overset{\displaystyle \rightarrow}b\right)$$ $$\overset{\displaystyle \rightarrow}{AQ}=\overset{\displaystyle \rightarrow}b+\overset{\displaystyle \rightarrow}{CQ}=\overset{\displaystyle \rightarrow}b+\frac 23\overset{\displaystyle \rightarrow}a-\frac 23\overset{\displaystyle \rightarrow}b={\color{blue}\boxed{{\color{black}\frac 23\overset{\displaystyle \rightarrow}a-\frac 13\overset{\displaystyle \rightarrow}b }}}$$

$${\color{blue}\boxed{{\color{black} Отг. ~В) }}}$$

[S.B.]

Без заглавие - 2020-04-21T072949.301.png (172.29 KiB) Прегледано 439 пъти

Зад 17
В [tex]\triangle ABC \rightarrow AC = x , BC = x + 2 ,AB = 7, \angle ACB = 120^\circ[/tex]
Прилагам Косинусива теорема:
$AB^{2} = AC^{2} + BC^{2} - 2.AC.BC.cos120^\circ \Leftrightarrow 7^{2} = x^{2} + (x + 2)^{2} + 2.x(x + 2).\frac{1}{2} \Leftrightarrow$
$ x^{2} + 2x - 15 = 0 ,D = 64 , x_{1,2 } = 3 , -5 < 0 \Rightarrow x = 3$
$AC = 3 , BC = 5 $
а) $S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2}.sin120^\circ \Rightarrow S_{ABC } = \frac{15\sqrt{3}}{4}$
б) $\frac{AB}{sin120^\circ} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{AB}{2sin120^\circ} = \frac{7\sqrt{3}}{3}$ (Синусова теорема)
в) $ S_{ABC } = p.r \Leftrightarrow \frac{15\sqrt{3}}{4} = \frac{15}{2}.r \Rightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

[S.B.]

Задачата с трапеца:
[tex]\triangle AOB \approx \triangle DOC \rightarrow \frac{AB}{CD} = \frac{AO}{OC} = \frac{5}{3}\Leftrightarrow \frac{10}{DC} = \frac{5}{3} \Rightarrow DC = 6[/tex]
Отг.А)