Описана окръжност

[Гост]

Върху страните AB, AD, DC на квадрата ABCD са взети съответно точките M, N, P така, че BM=AN=DP.Докажете, че пресечната точка на диагоналите на квадрата е центърът на описаната около ▲MNP окръжност.

[Davids]

Ще предложа една може би леко нестандартна идея за доказателство. Нека $BM = AN = DP = x$, а страната на квадрата да е $a$.
$MBCP$ е правоъгълен трапец с основи $CP = a - x$ и $BM = x$, т.е. лицето му е $\frac{a - x +x}{2}.a = \frac{1}{2}a^2$
С други думи, лицето на този трапец е точно половината от лицето на целия квадрат. Тоест отсечката $MP$ разполовява лицето на квадрата, а това може да направи само отсечка, минаваща през центъра му. Т.е. $O$ разполовява и $MP$.
Паралелно с това имаме $\triangle MNA \cong \triangle NPD \Rightarrow \angle ANM + \angle DNP = 90^{\circ}$, от което следва, че $\angle MNP$ е прав и $\triangle MPN$ е правоъгълен, чийто център на описаната окръжност знаем, че съвпада със средата на хипотенузата му, т.е. т. $0$. С което завършихме своето доказателство.

[S.B.]

Без заглавие (15).png (254.69 KiB) Прегледано 544 пъти

Върху страните AB, AD, DC на квадрата ABCD са взети съответно точките M, N, P така, че BM=AN=DP.Докажете, че пресечната точка на диагоналите на квадрата е центърът на описаната около ▲MNP окръжност.

[tex]\triangle AMN \cong PDN ( AN = DP , AM = ND , \angle A = \angle D = 90^\circ \Rightarrow \angle ANM = \angle DPN = \alpha , \angle DNP = \angle AMN = \beta ,MN = NP[/tex]
$\angle ANM + \angle DNP = \alpha + \beta = 90^\circ \Rightarrow \angle MNP = 90^\circ \Rightarrow \triangle MNP$ е правоъгълен и центърът на описаната окръжност е средата на хипотенузата $MP$
$AC\cap MP = O$ ( където $AC$ е диагонал на квадрата $ABCD)$
$\triangle AMO \cong \triangle PCO$ ( 2-ри признак)
1) $AM = PC$
2)$\angle PCO = \angle MAO = 45^\circ$
3)$\angle AMO = \angle CPO$ ( кръстни)
$\Rightarrow MO = PO$ - т.$О $ е среда на хипотенузата $MP$ и $AO = CO$ - т.$O$ е среда на диагонала $AC$
Получи се ,че средата на хипотенузата съвпада със средата на диагонала
$\Rightarrow $ центъра на описаната около $\triangle MNP$ окръжност съвпада с пресечната точка на диагоналите на квадрата.