Лице на триъгълник

[Гост]

Триъгълник има страни 10, 17 и 21 см. Намерете лицето по два начина, с формула на Херон и със Синусова формула за лице на триъгълник, радиуса на вписаната в него окръжност и най-голямата му височина.

[mail_dinko]

[tex]P=10+17+21 \rightarrow p=24[/tex]
[tex]S= \sqrt {24.14.7.3}= 84[/tex]

[S.B.]

Триъгълник има страни 10, 17 и 21 см. Намерете лицето по два начина, с формула на Херон и със Синусова формула за лице на триъгълник, радиуса на вписаната в него окръжност и най-голямата му височина.

Без заглавие - 2020-06-16T181011.834.png (170.09 KiB) Прегледано 5440 пъти

Херонова формула: [tex]S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex] ,където $p$ е полупериметърът на триъгълника ,а $a,b,c$ - страните на триъгълника

В твоята задача $p = 24 \rightarrow S = \sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)} = 84$

Синусова формула : $ S = \frac{ab}{2}sin\gamma = \frac{ac}{2}sin\beta = \frac{bc}{2}sin\alpha$

За да я използваш ти е необходим ъгъл.Нека определим $\angle \alpha$
Прилагам Косинусова теорема за $\triangle ABC$:
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2.b.c.cos\alpha \Leftrightarrow cos\alpha = \frac{a^{2} - b^{2} - c^{2}}{-2bc} \Leftrightarrow cos\alpha = \frac{10^{2} - 21^{2} - 17^{2}}{- 2.21.17} \Rightarrow cos\alpha = \frac{15}{17}$
$sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \frac{225}{289}} = \frac{8}{17}$
$S = \frac{b.c}{2}.sin\alpha \Leftrightarrow S = \frac{17.21}{2}.\frac{8}{17} = 84$

Радиус на вписаната окръжност:

$S = p.r \Leftrightarrow 84 = 24.r \Rightarrow r = 3,5$

Най - голямата височина:

Най - голямата височина е спусната срещу най - малката страна:
$ S = \frac{a h_{a }}{2} \Leftrightarrow 84 = \frac{10.h_{a }}{2} \Rightarrow h_{a } = 16,8$