Ирационални уравнения

[Гост]

Здравейте! Може ли помощ със следните примери? Благодаря предварително! Хубава вечер!

[Knowledge Greedy]

Типични за идеята за решаване са задачи 3 и 4.
В задача 3 изравняваме подкоренните величини. По същество това се получава с повдигането двете страни на втора степен и съкращаване на корените.

[tex]\left (\sqrt{x^2+7x+1} \right )^2=\left (\sqrt{5x+4} \right )^2[/tex]

Решаваме полученото квадратно уравнение [tex]x^2+7x+1=5x+4[/tex]

[tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]x^2+2x-3=0[/tex] и от корените му [tex]x_1=1[/tex] и [tex]x_2=-3[/tex] оставяме само този (тези), който (които) удовлетворява/т
условията на дефиниционното множество [tex]\begin{array}{|l} x^2+7x+1\ge 0 \\ 5x+4 \ge0 \end{array}[/tex]

Това е очевидно [tex]x=1[/tex] - отговор на задачата.

В задача 4 след първото повдигане на втора степен [tex]\left ( \sqrt{x+7 + \sqrt{x-2}} \right )^2=3^2[/tex]

В новополученото ирационално уравнение [tex]\sqrt{x-2}=2-x[/tex] ( след прехвърляне на [tex]x+2[/tex] с противоположен знак вдясно
( идеята е една и е кристално ясна - от едната страна да остане самотен корен, който с повдигане на втора степен да се превърне в рационален израз).
Но изведнъж се оказва,че и това е излишно - дефиниционното множество изисква [tex]x-2\ge 0[/tex] , а стойността на корена [tex]2-x[/tex] не може да е отрицателна.
Ето защо само [tex]x=2[/tex] е единственото решение.

[Евва]

[tex]\sqrt{x^{2}+3}[/tex]+[tex]\sqrt{10-x^{2}}[/tex] =5
Деф. множество [tex]\begin{array}{|l} x^{2} + 3\ge0 \\ 10 - x^{2} \ge 0 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} x \in (-\infty;+\infty)\\ x \in[ -\sqrt{10};+\sqrt{10} ] \end{array}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] х[tex]\in[/tex][-[tex]\sqrt{10}[/tex];+[tex]\sqrt{10}[/tex] ]

Полагаме a=[tex]\sqrt{x^{2}+3}[/tex] b=[tex]\sqrt{10-x^{2}}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l} a + b = 5 \\ a^{2}+b^{2} = 13 \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} b = 5-a \\ a^{2}+b^{2} = 13 \end{array}[/tex]
[tex]a^{2}[/tex]+25-10a+[tex]a^{2}[/tex]=13 |:2
[tex]a^{2}[/tex]-5a+6=0
D=25-24=1 ; [tex]a_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{5\pm1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a_{1 }[/tex]=3 ,[tex]a_{2 }[/tex]=2

Скрит текст: покажи

Няма нужда да намираме b.Връщаме се към полагането.

3=[tex]\sqrt{x^{2}+3}[/tex] или 2=[tex]\sqrt{x^{2}+3}[/tex]
9=[tex]x^{2}[/tex]+3 или 4=[tex]x^{2}[/tex]+3
[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\pm[/tex][tex]\sqrt{6}[/tex] , [tex]x_{3,4 }[/tex]=[tex]\pm[/tex]1

Намерените корени 1;-1;[tex]\sqrt{6}[/tex];-[tex]\sqrt{6}[/tex] [tex]\in[/tex]Деф.Мн.

[S.B.]

Поглед и върху първата задача

[tex]2x - \sqrt{2x^{2} - 4x + 9} = 3[/tex]
Д.М.:
$2x^{2} - 4x + 9 > 0 $ за всяко $x$ , защото е изпълнено: $D = - 56<0 \cup 2> 0 $
( където $2$ е коефициента пред втората степен на тричлена,който е подкоренна величина)
Д.М.: $x\in (-\infty , + \infty)$
$2x - 3 = \sqrt{2x^{2} -4x + 9} \Leftrightarrow (2x - 3)^{2} = (\sqrt{2x^{2} - 4x + 9})^{2} \Leftrightarrow 4x^{2} - 12x + 9 = 2x^{2} - 4x + 9$
$2x^{2} - 8x = 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Rightarrow x_{1 } = 0 \in $ Д.М.и $x_{2 } = 4 \in$ Д.М.

Правим непосредствена проверка ,защото сме повдигнали на втора степен двете страни на уравненеието:
$1) x_{1 } = 0$:
$2.0 - \sqrt{2.0 - 4.0 + 9 } = - \sqrt{9} = -3 \ne 3 \Rightarrow x_{1 } = 0 $ не е решение
$2)x_{2 } = 4:$
$2.4 - \sqrt{2.16 - 4.4 + 9} = 8 - \sqrt{25} = 8 - 5 = 3 \Rightarrow x_{2 } = 4$ е решение
Единствено решение е $ x = 4$