Ирацион.уравнения

[Кантелина]

Здравейте! Може ли помощ? Х2-5+✓Х2-6=7

[peyo]

Зад. 4а:

$x^2 -5 + \sqrt{x^2-6}=7$

Първо да видим кога x има смисъл. Трябва:
$x^2-6 \ge 0$
$x^2 \ge 6$
$|x| \ge \sqrt 6$

Дотук добре. Да направим една подмяна:

$t = \sqrt{x^2-6} $
Тогава:
$t^2 = x^2-6 $

$x^2 -6 +1 + \sqrt{x^2-6}=7$
$t^2 +1 + t=7$
$t^2 +t -6=0$

Едно хубаво квадратно уравнение се получи. Решаваме директно по формулата:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4*6}}{2}=\frac{-1 \pm 5}{2} = [-3, 2 ]$

Връщаме обратно в подмененото:

1) $-3 = \sqrt{x^2-6} $

Малко странно, че отрицателно число е резултат от корен. Нищо, ще го пренебрегнем засега и после ще напраим проверка.

$9 = x^2-6 $
$15 = x^2 $
$x_{1,2} = \pm \sqrt{15}$


2) $2 = \sqrt{x^2-6} $
$4 = x^2-6$
$10 = x^2$
$x_{3,4} = \pm \sqrt{10}$

Като направим проверка за $\pm \sqrt{15}$ се оказва, че не са решения, което е хубаво, защото ако бяха нямаше да зная защо са.

И така единствените решения са:

$x_{1,2} = \pm \sqrt{10}$