Ирационално уравнение

[Меди]

Да се реши уравнението $$\sqrt{\dfrac{x+2}{x}}+4\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}=4.$$

Скрит текст: покажи

Отг. $x=\dfrac{2}{3}$

Определяме дефиниционното множество на $x: D_x: \begin{cases}\frac{x+2}{x}\ge0\\\frac{x}{x+2}\ge0\\x\ne0;-2\end{cases} \iff x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$
Един въпрос относно системата - може ли да обединим първите две неравенства в едно? Ако да, защо? Ако $\dfrac{a}{b}\ge0$ при $a,b\ne0,$ то следва, че числата $a$ и $b$ са с един и същ знак. Следователно частното $\dfrac{b}{a} \ge 0.$ Не съм много сигурен, че това отговаря на въпроса ми.
Следващият ми въпрос е свързан с най-рационалното полагане, което може да направим. Ако $\sqrt{\dfrac{x+2}{x}}=y, y\ge0,$ но тъй като $x+2\ne0, y>0,$ може ли да твърдим, че $\sqrt{\dfrac{x}{x+2}}=\dfrac{1}{y}?$ Изглежда да, защото се получава отговорът при такова полагане, но не успявам да видя защо е така. Благодаря Ви!

[Knowledge Greedy]

Ако си положил [tex]\sqrt{\frac{x+2}{x}}=y[/tex]

тогава [tex]\frac{x+2}{x}=y^2[/tex] - след повдигане на втора степен. Обръщаме дробта [tex]\frac{x}{x+2}=\frac{1}{y^2}[/tex]

и коренуваме. [tex]\frac{x}{x+2}=\sqrt{\frac{1}{y^2}}[/tex]

Формално трябва да напишем [tex]\frac{x}{x+2}={\frac{1}{|y|}}[/tex]
Но тъй като при самото полагане се очаква [tex]y>0[/tex],

и от модула (абсолютната стойност) няма нужда. Така че, отговорът е утвърдителен.


_______________
Самото решение.
[tex]y+4.\frac{1}{y}=4[/tex]

[tex]y^2+4=4y[/tex]

[tex]y^2-4y+4=0[/tex] - може да решаваш с дискриминанта, може да забележиш и, че лявата страна е точна формула

[tex](y-2)^2=0[/tex]

[tex]y-2=0[/tex]

Значи [tex]y=2[/tex]

И тогава [tex]\sqrt{\frac{x+2}{x}}=2[/tex]

[tex]\frac{x+2}{x}=4[/tex] - след повдигане на втора степен

[tex]x+2=4x[/tex]

Отговор: [tex]x=\frac{2}{3}[/tex]
________________
Що се отнася до първия въпрос - много е лесен. Ако една дроб е положителна [tex]\frac{a}{b}>0[/tex]
тогава и реципрочната ѝ [tex]\frac{b}{a}>0[/tex]

[Меди]

Ако си положил [tex]\sqrt{\frac{x+2}{x}}=y[/tex]

тогава [tex]\frac{x+2}{x}=y^2[/tex] - след повдигане на втора степен. Обръщаме дробта [tex]\frac{x}{x+2}=\frac{1}{y^2}[/tex]

и коренуваме. [tex]\frac{x}{x+2}=\sqrt{\frac{1}{y^2}}[/tex]

Формално трябва да напишем [tex]\frac{x}{x+2}={\frac{1}{|y|}}[/tex]
Но тъй като при самото полагане се очаква [tex]y>0[/tex],

и от модула (абсолютната стойност) няма нужда. Така че, отговорът е утвърдителен.


_______________
Самото решение.
[tex]y+4.\frac{1}{y}=4[/tex]

[tex]y^2+4=4y[/tex]

[tex]y^2-4y+4=0[/tex] - може да решаваш с дискриминанта, може да забележиш и, че лявата страна е точна формула

[tex](y-2)^2=0[/tex]

[tex]y-2=0[/tex]

Значи [tex]y=2[/tex]

И тогава [tex]\sqrt{\frac{x+2}{x}}=2[/tex]

[tex]\frac{x+2}{x}=4[/tex] - след повдигане на втора степен

[tex]x+2=4x[/tex]

Отговор: [tex]x=\frac{2}{3}[/tex]
________________
Що се отнася до първия въпрос - много е лесен. Ако една дроб е положителна [tex]\frac{a}{b}>0[/tex]
тогава и реципрочната ѝ [tex]\frac{b}{a}>0[/tex]

Благодаря Ви за отговора!