Геометрична прогресия

[Меди]

Общият член на геометрична прогресия е $a_n,$ а сборът от първите ѝ $n$ члена е $S_n.$ Определете първия член, частното и броя на членовете на геометрична прогресия, за която: $\begin{cases}a_2+a_4+a_6=14 \\ a_3+a_5+a_7=14\sqrt{2}\\S_{\frac{n}{2}}=6+3\sqrt{2}\end{cases}.$

От първите две уравнения на системата с малко преобразувания, свързани с формулата за общия член на геометрична прогресия, и после почленното им разделяне, бихме могли да получим големината на частното $q=\sqrt{2}$ и на първия член $a_1=\sqrt{2}.$ Сега очевидно трябва да използваме третото уравнение, за да определим броя на членовете. Тръгнах от известната формула $S_n=\dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q},$ която приложена в нашата задача би трябвало да изглежда $S_{\frac{n}{2}}=\dfrac{a_1(1-q^{\frac{n}{2}})}{1-q} \Rightarrow 6+3\sqrt{2}=\dfrac{\sqrt{2}(1-\sqrt{2}^{\frac{n}{2}})}{1-\sqrt{2}} \iff \sqrt{2}(1-\sqrt{2}^{\frac{n}{2}})=(6+3\sqrt{2})(1-\sqrt{2}).$ Не успявам да реша полученото показателно уравнение за $n.$ Благодаря ви предварително!

[S.B.]

$ \sqrt{2}(1-\sqrt{2}^{\frac{n}{2}})=(6+3\sqrt{2})(1-\sqrt{2}).$

[tex]\sqrt{2}(1 - \sqrt{2}^{\frac{n}{2}}) = (6 + 3\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})[/tex]
$\sqrt{2} - \sqrt{2}^{\frac{n}{2} + 1} = 6 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 6$
$ -( 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{n}{2} + 1} = -4\sqrt{2}$
$ 2^{\frac{1}{2}(\frac{n}{2} + 1)} = 2^{2}.2^{\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{n}{4} + \frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}}$
Степените са равни,основите им са равни$ \Rightarrow$ степенните показатели също са равни
$\frac{n}{4} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{n}{4} = 2 \Rightarrow n = 8$

[Меди]

$ \sqrt{2}(1-\sqrt{2}^{\frac{n}{2}})=(6+3\sqrt{2})(1-\sqrt{2}).$

[tex]\sqrt{2}(1 - \sqrt{2}^{\frac{n}{2}}) = (6 + 3\sqrt{2})(1 - \sqrt{2})[/tex]
$\sqrt{2} - \sqrt{2}^{\frac{n}{2} + 1} = 6 - 6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 6$
$ -( 2^{\frac{1}{2}})^{\frac{n}{2} + 1} = -4\sqrt{2}$
$ 2^{\frac{1}{2}(\frac{n}{2} + 1)} = 2^{2}.2^{\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{n}{4} + \frac{1}{2}} = 2^{2 + \frac{1}{2}}$
Степените са равни,основите им са равни$ \Rightarrow$ степенните показатели също са равни
$\frac{n}{4} + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{n}{4} = 2 \Rightarrow n = 8$

Благодаря ви за отговора!