геометрични прогресии

[georgistoev7]

Здравейте! Може ли помощ със следните задачки, понеже изпитвам затруднения. Благодаря предварително! Хубава вечер!

Зад.1
За коя стойност на x числата 3х + 2, 2х, 2 са последователни членове на намаляваща геометрична прогресия?

Зад.2
За коя стойност на х числата х-7, х-3, 2х са последователни членове на геометрична прогресия с положителни членове?

Зад.3
За геометрична прогресия е известно, че а5 = 2. Намерете приозведението на първите девет члена на прогресията.

[Nathi123]

За зад.2.От свойствата на геом прогресия получаваме,че [tex](x-3)^{2}=(x-7).2x\Leftrightarrow x^{2}-6x+9=2x^{2}-14x\Leftrightarrow x^{2}-8x-9=0; х>7[/tex]
за да получим положителни членове на прогресията . Т.е. х = 9 .( х = -1 не е решение на задачата).
За зад. 1 аналогични разсъждения ,но частното ( отношението на два последователни члена на прогресията ) q трябва |q|<1.

[S.B.]

Зад.3
За геометрична прогресия е известно, че а5 = 2. Намерете приозведението на първите девет члена на прогресията.

Основно свойство на геометрична прогресия: Редицата ${a_{n }}$ е геометрична прогресия,тогава и само тогава,когато за всеки три последователни члена е изпълнено
$$a_{n } = \sqrt{a_{n-1 }.a_{n+1 }}$$
В твоя случай [tex]a_{5 } = \sqrt{a_{4 }.a_{6 }} \Leftrightarrow 2 = \sqrt{a_{4 }.a_{6 }} \Rightarrow a_{4 }.a_{6 } = 4[/tex]

За всяка крайна геометрична прогресия е изпълнено,че произведенията на равноотдалечените членове са равни:

Втвоя случай: $a_{1 }a_{9 } = a_{2 }a_{8 } = a_{3 }a_{7 } = a_{4 }.a_{6 } = 4$
Тогава :$(a_{1 }.a_{9 }) . (a_{2 } .a_{8 }) . (a_{3 } .a_{7 }) . (a_{4 }.a_{6 }) . a_{5 } = 4.4.4.4.2 = 4^{4}.2 = 2^{9} = 512$