Геометрични прогресии - задача

[dori5089]

Добър ден! Може ли някой да ми помогне със следната задача? Ще Ви бъда много благодарна! Приятен ден!

[S.B.]

Геометрична прогресия, за която се знае,че
[tex]\begin{array}{|l} a_{5 } - a_{1 } = 560 \\ a_{4 } - a_{2 } = 168 \end{array}[/tex]
$S_{n } = 847 , n=?$
От $а_{5 } - а_{1 } = 560 >0 \rightarrow$ прогресията е растяща $\Rightarrow q >1$
$\begin{array}{|l} a_{5 } - a_{1 } = 560 \\ a_{4 } - a_{2 } = 168\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l}a_{1 }q^{4} - a_{1 } = 560 \\ a_{1 }q^{3} - a_{1 }q = 168\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 }(q^{4} - 1) = 560 \\ a_{1 }q(q^{2} - 1) = 168 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 }(q^{2} - 1)(q^{2} + 1) = 560\\ a_{1 }q(q^{2} - 1) = 168\end{array}$
Деля почленно:
$\frac{a_{1 }(q^{2} - 1)(q^{2} + 1)}{a_{1 }q(q^{2} - 1)} = \frac{560}{168} \Leftrightarrow \frac{q^{2} + 1}{q} = \frac{10}{3} \Leftrightarrow $
$3q^{2} - 10q + 3 = 0 , D = 64, q_{1,2 } = \frac{10\pm 8}{6} , q_{1 } = \frac{1}{3} < 1 , q_{2 } = 3$
Прогресията е растяща $\Rightarrow q = 3$
$a_{1 }(q^{4} - 1) = 560 \Rightarrow a_{1 } = 7$
$S_{n } = a_{1 }\frac{q^{n} - 1}{q - 1} \Leftrightarrow 847 = 7.\frac{3^{n} - 1}{3 - 1} \Leftrightarrow 242 = 3^{n} - 1\Leftrightarrow 243 = 3^{n} \Rightarrow 3^{5} = 3^{n} \Rightarrow n = 5$