Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресия

[dori5089]

Здравейте! Може ли помощ със следните две задачи, понеже изпитвам затруднения с решението им...Благодаря Ви много предварително! Хубав ден!

Зад.1
От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три - аритметична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 12, а сборът на двете крайни е 14.

Зад.2
Намерете разликата на аритметична прогресия с първи член 24, ако първият, петият и единадесетият й членове образуват геометрична прогресия.

[S.B.]

Зад.1
От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три - аритметична прогресия. Намерете числата, ако сборът на двете средни числа е 12, а сборът на двете крайни е 14

Нека четирите числа са :[tex]b , a-d , a ,a + d[/tex]
Като:
$\frac{..}{..} b , a - d , a \Rightarrow (a - d)^{2} = ab$
$\div a - d , a , a + d $
$ b + a + d = 14 ; 2a - d = 12$
Образувам система:
$\begin{array}{|l} 2a -d = 12 \\a + b + d = 14\\ (a - d)^{2} = ab \end{array} $

Чрез събиране на първото и второто уравнения получавам :
$3a + b = 26 \Rightarrow b = 26 - 3a$
От първото уравнение получавам:
$d = 2a - 12$
Замествам в третото уравнение :
$(a - d)^{2} = ab \Leftrightarrow (12 - a)^{2} = a(26 - 3a) \Leftrightarrow 2a^{2} - 25a + 72 = 0 , D = 49 , a_{1 ,2} = \frac{25\pm 7}{4}$
$a_{1 } = 8 , d_{1 } = 16 - 12 = 4 , b_{1 } = 26 - 24 = 2$
Първата чеворка числа е: $$ 2 ; 4 ; 8 ; 12$$
$a_{2 } = 4,5 ; d_{2 } = 9 - 12 = - 3 ; b_{2 } = 26 - 13,5 = 12,5$
Втората четворка числа е: $$12,5 ; 7,5 ; 4,5 ; 1,5 $$

[S.B.]

Зад.2
Намерете разликата на аритметична прогресия с първи член 24, ако първият, петият и единадесетият й членове образуват геометрична прогресия.

От формулата за $n$-тия член на аритметичната прогресия $$a_{n } = a_{1 } + (n - 1)d$$ получавам:
[tex]a_{1 } = 24 , a_{5 } = 24 + 4d , a_{1 1} = 24 + 10d[/tex]
От свойството на геометричната прогресия : $\frac{..}{..} 24 , 24 + 4d , 24 + 10d$ $$ a_{n }^{2} = a_{n -1 }. a_{n +1 }$$ получавам:
$(a_{5 })^{2} = a_{1 }.a_{11 } \Leftrightarrow (24 + 4d)^{2} = 24.(24 + 10d)$
Получаваш квадратно уравнение по отношение на $d$ ,което можеш да решиш самостоятелно.
Не забравяй ,че $d\ne0$

[Гост]

Може ли помощ със следните три задачи!
1 задача: Три числа образуват геометрична прогресия.
Те са съответно първи, четвърти и двадесет и пети
член на растяща аритметична прогресия. Намерете трите числа, ако сборът им е 114.
2 задача: Три числа образуват намаляваща аритметична прогресия. Ако към първото число прибавим 1, а към третото число прибавим 2,
то ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете трите числа,ако сборът им е 18.
3 задача: три числа са последователни членове едновременно на аритметична геометрична прогресия . Намерете числата ако сборът им е 9.