Задачи от аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Три числа образуват геометрична прогресия. Те са съответно първи, четвърти и двадесет и пети член на растяща аритметична прогресия. Намерете трите числа, ако сборът им е 114.

[Гост]

Някой решил ли я

[ammornil]

Три числа образуват геометрична прогресия. Те са съответно първи, четвърти и двадесет и пети член на растяща аритметична прогресия. Намерете трите числа, ако сборът им е 114.

[tex]\overset{..}{-} a_{1}, a_{2}, a_{3} \hspace{2em} (q>1) \\ \div b_{1}, b_{2}, b_{3} ..., \hspace{2em} (d>0) \\ b_{1}=a_{1}, b_{4}=a_{2}=a_{1}+3d, b_{25}=a_{3}=a_{1}+24d[/tex]$$\begin{array}{|l} a_{1}+a_{2}+a_{3}=114 \\ a_{2}^{2}=a_{1}\cdot{a_{3}} \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}+a_{1}+3d+a_{1}+24d=114 \\ (a_{1}+3d)^{2}=a_{1}\cdot{(a_{1}+24d)} \end{array}$$

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}+9d= 38 \\ a_{1}^{2}+6a_{1}d+9d^{2}=a_{1}^{2}+24a_{1}d \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 18d(38-9d)-8d^{2}=0 \hspace{1em}|:2 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 9d(38-9d)-4d^{2}=0 \end{array} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 342d-81d^{2}-4d^{2}=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ -d(85d-342)=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ d_{1}=0 \notin \text{ ДМ: } d>0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ d=\frac{342}{85} \in \text{ ДМ: } d>0 \end{array} \\ \Rightarrow d=\frac{342}{85} \rightarrow a_{1}=\frac{152}{85} \hspace{2em} a_{2}=a_{1}+3d=\frac{1178}{85} \hspace{2em} a_{3}=a_{1}+24d=\frac{8360}{85}[/tex]

$$ 1\frac{67}{85}, \hspace{0.6em} 13\frac{73}{85}, \hspace{0.6em} 98\frac{6}{17}$$

Задачата няма решение, защото така получените числа не образуват геометрична прогресия. Проверете сметките, но според мен има нещо объркано в заданието.

[Евва]

Решавайки системата
[tex]\begin{array}{|l} a_{1 } +9d= 38 \\ a_{1 } ^{2 } +6 a_{1 }d +9 d^{2 } = a_{1 } ^{2 } +24 a_{1 }d \end{array}[/tex]
аз получих [tex]a_{1 }[/tex]= 2 и d=4 .

Краен отговор :
Геом .прогресия 2 ;14 ;98 ; ...
Аритм. прогресия 2 ;6 ;10 ;14 ;18 , ... , 98 , 102 , ...

[ammornil]

Да, благодаря. Неправилно съм преписал коефициента пред втората степен за разликата на аритметичната прогресия.

Скрит текст: покажи

[tex]\begin{array}{|l} a_{1}+9d= 38 \\ a_{1}^{2}+6a_{1}d+9d^{2}=a_{1}^{2}+24a_{1}d \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 18d(38-9d)\red{-9d^{2}}=0 \hspace{1em}|:9 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 2d(38-9d)-d^{2}=0 \end{array} \\ \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ 76d-18d^{2}-d^{2}=0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ -d(19d-76)=0 \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ d_{1}=0 \notin \text{ ДМ: } d>0 \end{array} \cup \begin{array}{|l} a_{1}=38-9d \\ d_{2}=4 \in \text{ ДМ: } d>0 \end{array} \\ \Rightarrow d=4 \rightarrow a_{1}=2 \hspace{2em} a_{2}=a_{1}+3d=14 \hspace{2em} a_{3}=a_{1}+24d=98[/tex]