Комбинирана задача с аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

Три числа, чийто сбор е 31, могат да се разглеждат като последователни членове на растяща геометрична прогресия. Ако от първото се извади 1 , второто се запази, от третото се извади 15 ще се получи аритметрична прогресия. Намерете първите числа?

Решавам я няколко пъти и всеки път стигам до това ,че няма реални корени.

Има ли някакво решение?

[peyo]

Три числа, чийто сбор е 31, могат да се разглеждат като последователни членове на растяща геометрична прогресия. Ако от първото се извади 1 , второто се запази, от третото се извади 15 ще се получи аритметрична прогресия. Намерете първите числа?

Решавам я няколко пъти и всеки път стигам до това ,че няма реални корени.

Има ли някакво решение?

Да направим системата:

$a+b+c=31$
$ak=b$
$bk=c$
$a-1 + t = b$
$b+t = c-15$

И да видим sympy дали ще намери решение:

In [2]: from sympy import *
In [5]: a,b,c,k,t = var("a,b,c,k,t")
In [8]: S = [a+b+c-31, a*k-b, b*k-c, a-1 + t - b, b+t - c+15]
In [10]: solve(S)
Out[10]: [{c: 25, k: 5, b: 5, a: 1, t: 5}, {c: 1, k: 1/5, b: 5, a: 25, t: -19}]

Намери даже 2 решения. Но второто решение не е растаща геометрична прогресия, значи само първото.

[S.B.]

Три числа, чийто сбор е 31, могат да се разглеждат като последователни членове на растяща геометрична прогресия. Ако от първото се извади 1 , второто се запази, от третото се извади 15 ще се получи аритметрична прогресия. Намерете първите числа?

Решавам я няколко пъти и всеки път стигам до това ,че няма реални корени.

Има ли някакво решение?

[tex]\frac{..}{..} a,aq,aq^{2}[/tex] като $q >1$
$\div (a - 1) ,aq , (aq^{2} - 15)$

$\begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 31 \\ a - 1 + aq^{2} - 15 = 2aq \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 31 \\ a - 2aq + aq^{2}= 16 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2}) = 31 \\a(1 - 2q + q^{2}) = 16 \end{array}$

Делиш почленно двете уравнения:

$\frac{a(1 + q + q^{2})}{a( 1 - 2q + q^{2})} = \frac{31}{16} \Leftrightarrow \frac{1 + q + q^{2}}{1 - 2q + q^{2}} = \frac{31}{16} \Leftrightarrow16(1 + q + q^{2}) = 31(1 - 2q + q^{2}) \Leftrightarrow 5q^{2} - 26q + 5 = 0 $

$5q^{2} - 26q + 5 = 0 ,D = 576=24^{2}, q_{1,2 } = \frac{26 \pm 24}{10} \Rightarrow q_{1 } = 5 , q_{2 } = \frac{1}{5} < 1 $

За $q = 5 \rightarrow 31 = a(1 + 5 + 25) \Rightarrow a= 1 $ $$ 1,5,25$$

[Гост]

Може ли помощ със следните три задачи!
1 задача: Три числа образуват геометрична прогресия.
Те са съответно първи, четвърти и двадесет и пети
член на растяща аритметична прогресия. Намерете трите числа, ако сборът им е 114.
2 задача: Три числа образуват намаляваща аритметична прогресия. Ако към първото число прибавим 1, а към третото число прибавим 2,
то ще получим три числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете трите числа,ако сборът им е 18.
3 задача: три числа са последователни членове едновременно на аритметична геометрична прогресия . Намерете числата ако сборът им е 9.