Ирационално уравнение и неравенство

[ewa-wiwa]

задача 1: Да се докаже, че неравенството: x+y /(x^2 - xy + y^2) ? 2?2/?(x^2 + y^2) е изпълнено за всички реални числа x и y, които не са едновременно нула.
задача 2. корен 4 от ?(2х - 1) = 1/4 х^2 + 3/4

[martin123456]

1
[tex]\frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \le \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}[/tex]
[tex]x^2-xy+y^2 \ge x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}[/tex]
[tex]x+y \le 2\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{x+y}{x^2-xy+y^2} \le \frac{2.2\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{2}(x^2+y^2)}[/tex]

[martin123456]

2
сигурно имаш предвид [tex]\sqrt[8]{2x-1}=\frac{1}{4x^2}+\frac{3}{4}[/tex] или [tex]\sqrt[4]{2x-1}=\frac{1}{4x^2}+\frac{3}{4}[/tex]
и в двата случая лявата страна расте, а дясната намалява. значи уравнението има максимално 1 решение. вижда се че 1 е решение. значи е то.

[ewa-wiwa]

Благодаря за решението! Ами корен четвърти е, но в дясната страна х^2 е горе. Аз го реших до някъде и х=1 е двукратен корен, но ми остава уравнение от 6 - та степен, което не мога да разложа.