Аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

1. От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три - аритметична. Намерете трите числа, ако сборът на двете средни е 24, а на двете крайни е 32.

2. Да се намери броя на положителните членоне на аритметичната прогресия, за която а1= 25 и а1=13.

3. Сборът на три числа, образуващи намаляваща геометрична прогресия, е равен на 26. Ако към второто число прибавим 4, ще получим три числа, които образуват аритметична прогресия. Намелете двете прогресии.

[S.B.]

1. От четири числа първите три образуват геометрична прогресия, а последните три - аритметична. Намерете трите числа, ако сборът на двете средни е 24, а на двете крайни е 32.

Нека числата имат вида [tex]a ,aq , aq^{2},b[/tex]
Първите 3 са геометрична прогресия :$ a,aq,aq^{2}$
Последните 3 - аритметична прогресия : $2aq^{2} = aq + b$
Образувам системата:
$\begin{array}{|l} 2aq^{2} = aq + b \\ aq + aq^{2} = 24\\a + b = 32 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 2aq^{2} - aq - b = 0 \\ aq + aq^{2} = 24\\b = 32 - a\end{array} \Leftrightarrow\begin{array}{|l} 2aq^{2} - aq + a = 32 \\ aq^{2} + aq = 24 \end{array}\Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(2q^{2} - q + 1) = 32 \\a(q^{2} + q) = 24 \end{array}$

Делиш почленно първото на второто уравнение:

$\frac{a(2q^{2} - q + 1)}{a(q^{2} + q)} = \frac{32}{24} \Leftrightarrow \frac{2q^{2} - q + 1}{q^{2} + q} = \frac{4}{3}\Leftrightarrow 6q^{2} - 3q + 3 = 4q^{2} + 4q \Leftrightarrow$
$2q^{2} - 7q + 3 = 0 ,D = 25 , q_{1,2 } =\frac{7\pm 5}{4}$
$q_{1 } = 3 \Rightarrow a_{1 } = 2, b_{1 } = 30$
$q_{2 } = \frac{1}{2}\Rightarrow a_{2 } = 32,b_{2 } = 0$
Получават се две четворки числа,така,че първите 3 образуват геометрична прогресия,а последните 3 - аритметична:
$$2 , 6 , 18 , 30$$ $$32 , 16 , 8 , 0$$

[mail_dinko]

Зад. 3.:
Геометрична прогресия: [tex]a_1; a_1 q; a_1 q ^2[/tex]
Аритметична прогресия: [tex]a_1; a_1 q+4; a_1 q ^2[/tex]

Система:
[tex]a_1+ a_1 q+ a_1 q ^2 = 26[/tex]
[tex]a_1 q+4= \frac {a_1 + a_1 q ^2}{2}[/tex]

[tex]\frac { \cancel {a_1} (q^2 + q+1)}{ \cancel {a_1} (q^2 -2 q+1)} = \frac {26}{8}[/tex]
[tex]3q^2 - 10q+ 3 =0[/tex]
[tex]q_1 =3[/tex] - не удовлетворява условието за намаляване
[tex]q_2 = \frac13[/tex]
[tex]q=3 \Rightarrow a_1 + \frac13 a_1+ \frac19 a_1 = 26 \Leftrightarrow a_1 = 18; a_2 = 6; a_3 = 2[/tex]
Аритм. прогр. 18;10;2

[S.B.]

3. Сборът на три числа, образуващи намаляваща геометрична прогресия, е равен на 26. Ако към второто число прибавим 4, ще получим три числа, които образуват аритметична прогресия. Намелете двете прогресии.

[tex]\begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 26 \\ 2(aq + 4) = a + aq^{2} \end{array}\Leftrightarrow\begin{array}{|l} a + aq + aq^{2} = 26\\ a - 2aq + aq^{2} = 8 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2}) = 26\\ a(1 - 2q + q^{2}) = 8 \end{array}[/tex]

Делиш почленно и получаваш:

$\frac{a(1 + q + q^{2})}{a(1 - 2q + q^{2})} = \frac{26}{8} \Leftrightarrow$ след преработка $\Leftrightarrow3q^{2} - 10q + 3 = 0 , D = 64 $

[tex]q_{1,2 } = \frac{10 \pm 8 }{6} , q_{1 } = 3 > 1 , q_{2 }= \frac{1}{3} < 1[/tex]

Тъй като прогресията е намаляваща избирам [tex]q = \frac{1}{3} \Rightarrow a = 18[/tex]
Отговорът е :$$ \frac{..}{..} 18 , 6 , 2$$ $$\div 18 , 10, 2$$

[S.B.]

2. Да се намери броя на положителните членоне на аритметичната прогресия, за която а1= 25 и а1=13.

Коригирайте условието

[Гост]

За 2.задача а1=25 и а4=13

[mail_dinko]

[tex]a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow d = \frac {a_4-a_1}{3}=-4[/tex]
Членовете са 25; 21; 17; 13; 9; 5; 1. Броят им е 7