1 задача за триъгълник(Симетрия)

[prodanov]

Така, ето условието:

В триъгълника АВС центърът на описаната окръжност О и центърът на вписаната окръжност Q са симетрични относно страната АВ. Да се намерят ъглите на триъгълника.

1.Щом центъра на вписаната и описаната е симетричен на основата, то отсечката между двата центъра разделя основата на две (нека точка е М е центъра --> OM=QM; AM=MB). Това така ли е, по този начин ли се доказва?

2.Построяваме 4 прави(AQ, AO, BQ, BO) и разглеждаме триъгълниците, които образуват (съответно AMQ и АМО; AMQ и BMQ; BMQ и BMO) => те са еднакви по първи признак => AOBQ e ромб.

3. Тъй като [tex]AM \bot QM[/tex] и АМ=МB , то CM е не само височина(недостигаща до върха С), но и медиана => ABC равнобедрен(АС=ВС) => CM е и ъглополувяща.

До тук. Не знам дали това горе е вярно, най-много ме съмнява 1). Таа... два въпроса - вярно ли е това до тук и как да продължа?

[Martin Nikovski]

Чертеж към задачата.

Drawing.jpg (14.62 KiB) Прегледано 314 пъти

Първо да докажем, че наистина [tex]OQ\cap AB=M[/tex], където точка [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex]. Знаем, че центърът на описаната окръжност (точка [tex]O[/tex]) е пресечната точка на симетралите на [tex]\Delta ABC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]O\in S_{AB}[/tex]
Според условието: точка [tex]O[/tex] е симетрична на точка [tex]Q[/tex] спрямо [tex]AB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]Q[/tex] също лежи на [tex]S_{AB}[/tex].
[tex]\left. O\in S_{AB}\\ Q\in S_{AB} \right\}\Rightarrow[/tex] [tex]OQ\in S_{AB}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OQ\bot AB[/tex] и [tex]OQ\cap AB=M[/tex], където точка [tex]M[/tex] е средата на [tex]AB[/tex].
Центърът на вписаната окръжност точка [tex]Q[/tex] е пресечната точка на ъглополовящите в триъгълника [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AQ[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle BAC[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle BAQ=\angle QAC=\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AMO[/tex] и [tex]\Delta AMQ[/tex]
[tex]O[/tex] и [tex]Q[/tex] - симетрични спрямо [tex]AB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]OM=QM[/tex]
[tex]AM[/tex] - обща страна
[tex]\angle AMO=\angle AMQ=90^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta AMO[/tex] е еднакъв с [tex]\Delta AMQ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle MAO=\angle MAQ=\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AOC[/tex]:
[tex]\angle OAC=\angle MAO+\angle MAQ+\angle QAC=\alpha +\alpha +\alpha =3\alpha[/tex]
[tex]OA=OC=R[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\Delta AOC[/tex] е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle ACO=\angle OAC=3\alpha[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta AMC[/tex] ([tex]\angle AMC=90^\circ[/tex]):
[tex]\angle MAC=\angle MAQ+\angle QAC=\alpha +\alpha =2\alpha[/tex]
[tex]\angle ACM=3\alpha[/tex] - по доказателство.
[tex]\angle MAC+\angle ACM+\angle AMC=180^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]2\alpha +3\alpha +90^\circ =180^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]5\alpha =90^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha =18^\circ[/tex]
Центърът на вписаната окръжност точка [tex]Q[/tex] е пресечната точка на ъглополовящите в триъгълника [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]CQ[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ACB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle ACM=\frac{1}{2 }\angle ACB[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle ACB=2\angle ACM=2.3\alpha =6\alpha =6.18^\circ=108^\circ[/tex]
[tex]\angle BAC=2\alpha =2.18^\circ=36^\circ[/tex]
[tex]\angle ABC=180^\circ -\angle BAC- \angle ACB=180 ^\circ -108^\circ -36^\circ =36^\circ[/tex]

[prodanov]

Мерси много! Имам много да наваксвам от профилираната подготовка.