Аритметична и геометрична прогресия

[Гост]

1. Да се намери разликата на аритметичната прогресия, за която а2=9 и S7-S6=29.
2. Три числа образуват аритметична прогресия. Техният сбор е равен на 30. Ако от първия член извадим 1 и към третия прибавим 6, то ще се получат три последователни члена на геометрична прогресия. Кои са първоначалните числа?
3. Три числа образуват растяща геометрична прогресия. Ако второто увеличим с 2, новата тройка числа в същия ред образуват аритметична прогресия. Ако третият член на новата прогресия увеличив с 16, то получените числа образуват геочетрична прогресия. Намерете първоначалните числа.

[Евва]

3 зад.
Дадено -растяща геом. прогресия [tex]\frac{ a_{1 } }{q}[/tex] ;[tex]a_{1 }[/tex] ;[tex]a_{1 }[/tex]q (q>1 #)

аритметична прогресия [tex]\frac{ a_{1 } }{q}[/tex] ;[tex]a_{1 }[/tex]+2 ;[tex]a_{1 }[/tex]q
Тогава 2([tex]а_{1 }[/tex]+2)=[tex]\frac{ a_{1 } }{q}[/tex]+[tex]a_{1 }[/tex]q [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]a_{1 }[/tex]q+4q=[tex]a_{1 }[/tex]+[tex]a_{1 }[/tex][tex]q^{2}[/tex] (1)

геом.прогресия [tex]\frac{ a_{1 } }{q}[/tex] ;[tex]a_{1 }[/tex]+2 ;[tex]a_{1 }[/tex]q+16
Тогава [tex]( a_{1 }+2) ^{2}[/tex]=[tex]\frac{ a_{1 } }{q}[/tex]([tex]a_{1 }[/tex]q+16)
Опростяваме и получаваме [tex]a_{1 }[/tex]=[tex]\frac{q}{4-q}[/tex] (2) [ Заместваме (2) в (1) ]
[tex]\frac{2 q^{2} }{4-q}[/tex]+[tex]\frac{4q}{1}[/tex]=[tex]\frac{q}{4-q}[/tex]+[tex]\frac{ q^{3} }{4-q}[/tex]

...
[tex]q^{3}[/tex]+2[tex]q^{2}[/tex]-15q=0 |:q[tex]\ne[/tex]0
[tex]q^{2}[/tex]+2q-15=0
Решаваме квадратното уравнение и получаваме [tex]q_{1 }[/tex]=3 и [tex]q_{2 }[/tex]= -5 не отговаря на #.
q=3 ( Връщаме се към (2) .) [tex]а_{1 }[/tex]=[tex]\frac{3}{4-3}[/tex] т.е. [tex]а_{1 }[/tex]=3

Първоначалната геометр.прогресия е 1 ;3 ;9

[S.B.]

1. Да се намери разликата на аритметичната прогресия, за която а2=9 и S7-S6=29.
2. Три числа образуват аритметична прогресия. Техният сбор е равен на 30. Ако от първия член извадим 1 и към третия прибавим 6, то ще се получат три последователни члена на геометрична прогресия. Кои са първоначалните числа?

Задача 1.
[tex]\begin{array}{|l} а_{2 } = 9 \\ S_{7 } - S_{6 } = 29\end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{2 } = 9 \\ a_{7 } = 29 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a_{1 }+ d = 9 \\ a_{1 } + 6d = 29 \end{array}[/tex]
Изваждаш почленно от второто първото уравнение и получаваш:
[tex]5d = 20 \Rightarrow[/tex] $$d = 4$$

Задача 2.
Числата образуващи аритметичната прогресия имат следното представяне:
$\div a - d , a , a + d$
[tex]a - d + a + a + d = 30 \Leftrightarrow 3a = 30 \Rightarrow a = 10[/tex]
Геометричната прогресия:
[tex]\frac{..}{..}[/tex] [tex](a -d - 1), a , (a +d + 6)[/tex]
От свойството на геометричната прогресия:
[tex]a^{2} = (a - d - 1)(a + d + 1) \Leftrightarrow 10^{2} = (10 - d - 1)(10 + d + 1) \Leftrightarrow 100 = (9 - d)(11 + d) \Leftrightarrow[/tex]
[tex]d^{2} + 7d - 44 = 0 ,D = 225 , d_{1,2 } = \frac{- 7 \pm 15}{2} \Rightarrow d_{1 } = 4 , d_{2 } = -11[/tex]
Получават се две трoйки числа:
$$\div 6,10,14$$ $$ \div 21 , 10 , -1$$