Израз със синус и косинус

[Гост]

Моля за помощ с решението!

[ammornil]

[tex]A=\frac{2sin(180^\circ-x)sin(90^\circ-x)}{sin(90^\circ+x)-cos(180^\circ-x)}=?, tgx=-\frac{5}{12}[/tex]

[tex]tgx<0 \Rightarrow x \in (90 ^\circ;180^\circ) \cup (270^\circ;360^\circ)[/tex], синус и косинус имат противоположни (различни) знаци.

[tex]\begin{array}{|l} \frac{sin(x)}{cos(x)}= -\frac{5}{12} \\sin^2(x)+cos^2(x) = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5cos(x)}{12} \\ \left ( -\frac{5cos(x)}{12} \right )^{2}+cos^2(x) = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5cos(x)}{12} \\ \frac{25cos^{2}(x)}{144} +cos^2(x) = 1 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5cos(x)}{12} \\ 25cos^{2}(x)+144cos^2(x) = 144 \end{array}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5cos(x)}{12} \\ 169cos^2(x) = 144 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5cos(x)}{12} \\ cos(x)=\pm \frac{12}{13} \end{array} \Rightarrow \begin{array}{|l} sin(x)= \frac{5}{13} \\ cos(x)=- \frac{12}{13} \end{array} (II кв.) \cup \begin{array}{|l} sin(x)= -\frac{5}{13} \\ cos(x)=\frac{12}{13} \end{array} (IV кв.)[/tex]

[tex]A=\frac{2sin(180^\circ-x)sin(90^\circ-x)}{sin(90^\circ+x)-cos(180^\circ-x)}=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos(x)-(-cos(x))}=\frac{2sin(x)cos(x)}{cos(x)+cos(x)}=\frac{\cancel{2}sin(x)\cancel{cos(x)}}{\cancel{2}\cancel{cos(x)}}=sin(x)[/tex]

Ако допуснем, че са имали предвид за алфа от 0 до 180 градуса то верният отговор е A).

[tex][/tex]