Точки върху правите, определени от страните на триъгълник

[Гост]

Върху страната $AB$ и продължението на страната $AC$ на $\triangle ABC$ са взети съответно точки $D$ и $E$ така, че $BD=CE$. Отсечката $DE$ пресича страната $BC$ в точка $M$. Да се докаже, че $DM:ME=AC:AB$.

[Nathi123]

Да използваме стандартните означения за ъглите на [tex]\triangle ABC ; \angle ACB = \gamma ; \angle ABC = \beta \Rightarrow \angle ECM = 180 ^\circ - \gamma[/tex];
да означим [tex]\angle DMB= \angle CME= \varphi ; CE= BD = x.[/tex] От синусова т-ма за [tex]\triangle BDM \Rightarrow \frac{DM}{sin \beta }= \frac{BD}{sin \varphi }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow DM= \frac{xsin \beta }{sin \varphi }[/tex]. Аналогично от синусова т-ма за [tex]\triangle CME \Rightarrow ME= \frac{xsin(180 ^\circ - \gamma )}{sin \varphi }[/tex]
[tex]\Leftrightarrow ME = \frac{xsin \gamma }{sin \varphi } \Rightarrow \frac{DM}{ME} = \frac{sin \beta }{sin \gamma };[/tex]
[tex]\frac{sin \beta }{sin \gamma }= \frac{AC}{AB}[/tex] ( от синусова т-ма за [tex]\triangle АВС )[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{DM}{ME}= \frac{AC}{AB}[/tex].