Ъглополовяща, равна на една от страните на триъгълник

[Николай Стефанов]

В $\triangle ABC$ ъглополовящата $AD$ има една и съща дължина със страната $AC$. Описаната около $\triangle ABD$ окръжност пресича страната $AC$ в точката $E$. Да се намерят ъглите на $\triangle ABC$, ако $\dfrac{DE}{CD}=\dfrac{1+\sqrt3}{2}$. (ТУ Варна, 1999)

$\triangle ABC$ и $\triangle DEC$ са подобни по първи признак заради общия ъгъл $\measuredangle C$ и $$\measuredangle CDE=180^\circ-\measuredangle BDE=\measuredangle BAC.$$ От това подобие имаме $\measuredangle CDE=\measuredangle BAC=2\alpha$. От друга страна, $\measuredangle ACD=\dfrac{180^\circ-\alpha}{2} = 90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}$. Тоест $\measuredangle CED=180^\circ-2\alpha-90^\circ+\dfrac{\alpha}{2}=90^\circ-\dfrac{3\alpha}{2}$.
От синусовата теорема за триъгълник $CED \Rightarrow$ $$\dfrac{1+\sqrt3}{2}=\dfrac{\sin\left(90^\circ-\dfrac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(90^\circ-\dfrac{3\alpha}{2}\right)}=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}{2}}{\cos\dfrac{3\alpha}{2}}$$
Можем ли оттук да намерим $\alpha$? Благодаря предварително!

[Евва]

Аз означих [tex]\angle[/tex]АСВ=[tex]\gamma[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]CED=3[tex]\gamma[/tex]-180[tex]^\circ[/tex]

(sin T [tex]\triangle[/tex]EDC) [tex]\frac{DE}{sin \gamma } =\frac{CD}{sin(3 \gamma-180 ^\circ )}[/tex]

[tex]\frac{DE}{CD}[/tex]=[tex]\frac{sin \gamma }{- sin(3 \gamma) }[/tex]

...
Стигнах до [tex]sin^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{2+ \sqrt{3} }{4}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]sin^{2}[/tex][tex]\gamma[/tex]=[tex]\frac{2+ \sqrt{3} }{2}[/tex]

1-cos(2[tex]\gamma[/tex])=1+[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex]

cos(2[tex]\gamma[/tex])=- [tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] 2[tex]\gamma[/tex]=150[tex]^\circ[/tex]

Тогава [tex]\gamma[/tex]=75[tex]^\circ[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\alpha[/tex]=60[tex]^\circ[/tex] , [tex]\beta[/tex]=45[tex]^\circ[/tex]