Ъглополовяща

[Гост]

Даден е [tex]\triangle ABC[/tex], в който [tex]\alpha = 3 \beta[/tex]. Ъглополовящата на [tex]\angle BCA[/tex] дели лицето на триъгълника в отношение 2:1. Да се намерят ъглите на триъгълника? (ВУЗ, 1971). Моля за помощ!

[Nathi123]

Нека CL - ъглополовяща.Построяваме СН[tex]\bot AB \Rightarrow S _{ \triangle ACL }= \frac{CH.AL}{2}; S _{ \triangle BCL}= \frac{BL.CH}{2}[/tex]
[tex]\Rightarrow \frac{ S _{ \triangle ACL }}{S _{ \triangle BCL}}= \frac{AL}{BL}[/tex]; CL-ъглополовяща в [tex]\triangle ABC \Rightarrow \frac{Al}{BL}= \frac{AC}{BC}[/tex].
[tex]\alpha =3 \beta \Rightarrow \alpha \beta \Rightarrow BC>AC \Rightarrow \frac{AC}{BC}= \frac{1}{2}[/tex].
От синусова т-ма за [tex]\triangle ABC \Rightarrow \frac{AC}{sin \beta } = \frac{BC}{sin \alpha } \Leftrightarrow \frac{AC}{BC}= \frac{sin \beta }{sin3 \beta }[/tex]
sin3[tex]\beta =3 sin \beta -4sin ^{3} \beta \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{sin \beta }{3 sin \beta -4sin ^{3} \beta} \Leftrightarrow[/tex]
2=3-4sin[tex]^{2} \beta; sin \beta >0 \Rightarrow sin \beta = \frac{1}{2}; ( \beta и 3 \beta[/tex] - ъгли в един триъгълник)[tex]\Rightarrow \beta =30 ^\circ[/tex];
[tex]\alpha = 90 ^\circ; \gamma = 60 ^\circ .[/tex]

[Гост]

Искрено благодаря за решението, но искам да ви припомня, че в 10 клас не се изучават утроени ъгли, така че се надявам на други решения!

[Nathi123]

Тази задача е давана ,когато в училищния курс по математика се изучаваха тригонометрични функции на сбор и разлика на ъгли и именно да се види приложението на тригонометрията за решаване на задачи по планиметрия!

[Евва]

Нека т.М е среда на отсечката ВС .
Както Nathi123 доказа a=2b [tex]\Rightarrow[/tex] AC=MC [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]AMC е равнобедрен с ъгъл при върха 180[tex]^\circ[/tex]-4[tex]\beta[/tex] .
Тогава [tex]\angle[/tex]САМ=[tex]\angle[/tex]АМС=2[tex]\beta[/tex] ,намираме [tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\angle[/tex]BAC-[tex]\angle[/tex]CAM
[tex]\angle[/tex]BAM=3[tex]\beta[/tex]-2[tex]\beta[/tex] т.е. [tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\beta[/tex]

Разглеждаме [tex]\triangle[/tex]АВМ [tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\angle[/tex]АВМ=[tex]\beta[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВМ е равнобедрен и за него ще е изпълнено АМ=ВМ=b

Оказа се ,че [tex]\triangle[/tex]АМС е с три равни страни =b .
[tex]\triangle[/tex]АМС е равностранен [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АСМ=[tex]\angle[/tex]АСВ=60[tex]^\circ[/tex]

Скрит текст: покажи

Сигурна съм ,че Гост ще успее да завърши решението .