Окръжност и триъгълник

[Гост]

Страната на AB на [tex]\triangle ABC[/tex] служи за диаметър на окръжност, която пресича страните AC и BC съответно в точките M и N. Дължините на отсечките AN и BM са съответно равни на 6 см и 8 см, а големината на ъгъла при върха С е [tex]\varphi[/tex]. Да се намерят страните на триъгълника. Аз доказах, че AN и BM са височини, откъдето [tex]\triangle ANC \approx \triangle BMC[/tex] с коефициент на подобие [tex]\frac{3}{4}[/tex]. Оттам изразих АС = 3х и ВС = 4х, пробвах с косинусова теорема за страната АВ в [tex]\triangle АВС[/tex], но нещо зацислих, благодаря предварително за помощта!

[Добромир Глухаров]

За да намерим х, изразяваме лицето по три начина:

$S=\frac{BC.6}{2}=\frac{AC.8}{2}=\frac{AC.BC}{2}sin\varphi$

Оттук едновременно BC:AC=4:3, т.е. $AC=3x,\ BC=4x$ и $x.sin\varphi=2$

Сега вече от Косинусовата теорема (AB=y) $y^2=(3x)^2+(4x)^2-2.3x.4x.cos\varphi$

Или $AC=3x=\frac{6}{sin\varphi};\ BC=4x=\frac{8}{sin\varphi}$ и $y^2=x^2(25-24cos\varphi)\Rightarrow y=x\sqrt{25-24cos\varphi}=\frac{2}{sin\varphi}\sqrt{25-24cos\varphi}$