Триъгълник с две перпендикулярни прави

[Гост]

В [tex]\triangle ABC[/tex] върху страните AB и BC са взети съответно точките M и N, като BM=BN. През М е построена права, перпендикулярна на BC, а през N - права, перпендикулярна на AB. Тези прави се пресичат в точка O. Правата [tex]BO \cap AC = P[/tex] и я дели на отсечки AP=5 и PC=4. Намерете дължината на отсечката BP, ако BC=6. Отговорът в сборника е 5. Благодаря предварително за помощта!

[Гост]

bp.PNG (44.84 KiB) Прегледано 400 пъти

[S.B.]

В [tex]\triangle ABC[/tex] върху страните AB и BC са взети съответно точките M и N, като BM=BN. През М е построена права, перпендикулярна на BC, а през N - права, перпендикулярна на AB. Тези прави се пресичат в точка O. Правата [tex]BO \cap AC = P[/tex] и я дели на отсечки AP=5 и PC=4. Намерете дължината на отсечката BP, ако BC=6. Отговорът в сборника е 5. Благодаря предварително за помощта!

Без заглавие - 2021-08-29T181431.184.png (187.5 KiB) Прегледано 372 пъти

[tex]\triangle MNB[/tex] е равнобедрен, т.$O$ е ортоцентър,[tex]BP_{1 }[/tex] е височина,медиана и ъглополовяща [tex]\Rightarrow \angle N_{1 }BO = \angle M_{1 }BO[/tex]
[tex]\triangle N_{1 }BO \cong \triangle M_{1 }BO[/tex] (втори признак) [tex]\Rightarrow OM_{1 } = ON_{1 } \Rightarrow[/tex] т.$O$ е на равни разстояния от раменете на [tex]\angle ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] т. $O$ принадлежи на ъглополовящата на [tex]\angle ABC \Rightarrow BP[/tex] е ъглополовяща на [tex]\angle ABC[/tex]
От свойствата на ъглополовящата следват:
1) [tex]\Rightarrow \frac{AB}{CB} = \frac{AP}{CP} \Leftrightarrow \frac{AB}{6} = \frac{5}{4} \Rightarrow AB = \frac{15}{2} = 7,5[/tex]

2) [tex]BP^{2 } = AB.CB - AP.CP \Leftrightarrow AP^{2 } = 7,5.6 - 5.4 \Leftrightarrow AP^{2 } = 25 \Rightarrow AP = 5[/tex]