Правоъгълен триъгълник

[Гост]

Върху хипотенузата AB на правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex]са взети точките K и L, така че AK=KL=LB. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], ако е известно, че CK=[tex]\sqrt{2}×CL[/tex].

[Евва]

Получих sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{7} }{3}[/tex] .
Как да определя ъглите ?

[Гост]

Това са отговорите за ъглите, ако може да споделите как стигнахте до тях.

[Евва]

Нека BC=a ,AC=b ,AB=c . Построяваме височините К[tex]К_{1 }[/tex] и L[tex]L_{1 }[/tex] от точките K,L към страната АС.
От K[tex]K_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]AC ,L[tex]L_{1 }[/tex][tex]\bot[/tex]AC и BC[tex]\bot[/tex]AC [tex]\Rightarrow[/tex] K[tex]K_{1 }[/tex]||L[tex]L_{1 }[/tex]||BC и заедно с факта ,че AK=KL=LB [tex]\Rightarrow[/tex]
K[tex]K_{1 }[/tex] e средна отсечка в [tex]\triangle[/tex]AL[tex]L_{1 }[/tex] и L[tex]L_{1 }[/tex] е средна отсечка в трапеца КВС[tex]К_{1 }[/tex]
А от това следва ,че A[tex]K_{1 }[/tex]=[tex]K_{1 }[/tex][tex]L_{1 }[/tex]=C[tex]L_{1 }[/tex]=[tex]\frac{b}{3}[/tex] .
Лесно намираме K[tex]K_{1 }[/tex]= [tex]\frac{a}{3}[/tex] и L[tex]L_{1 }[/tex]=[tex]\frac{2a}{3}[/tex] .
[tex]\triangle[/tex][tex]K_{1 }[/tex]KC- правоъгълен [tex]K_{1 } K^{2 }[/tex]+[tex]K_{1 } C^{2 }[/tex]=[tex]KC^{2 }[/tex]
[tex]\triangle[/tex][tex]L_{1 }[/tex]LC- правоъгълен [tex]L L_{1 } ^{2 }[/tex]+[tex]C L_{1 } ^{2 }[/tex]=[tex]CL^{2 }[/tex]
Решаваме системата
[tex]\begin{array}{|l} \frac{ a^{2 } }{9} + \frac{4 b^{2 } }{9} = CK^{2 } \\ \frac{4 a^{2 } }{9} + \frac{ b^{2 } }{9} = CL^{2 } \\ CK^{2 }=2 CL^{2 } \end{array}[/tex]

[tex]\frac{ a^{2 } +4 b^{2 } }{9} =2.\frac{ 4a^{2 }+ b^{2 } }{9}[/tex]
...
7[tex]a^{2 }[/tex]=2[tex]b^{2 }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] a=[tex]\frac{b \sqrt{14} }{7}[/tex] (1)

[tex]\triangle[/tex]ABC [tex]a^{2 }[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex]=[tex]c^{2 }[/tex]
[tex]\frac{2 b^{2 } }{7}[/tex]+[tex]b^{2 }[/tex]=[tex]c ^{2 }[/tex] ; [tex]c^{2 }[/tex]=[tex]\frac{9 b^{2 } }{7}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] c=[tex]\frac{b.3 \sqrt{7} }{7}[/tex] (2)

sin[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{a}{c}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{b \sqrt{14} }{7} }{ \frac{b.3 \sqrt{7} }{7} }[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{2} . \sqrt{7} }{3 \sqrt{7} }[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{2} }{3}[/tex] и cos[tex]\alpha[/tex]=[tex]\frac{b}{c}[/tex]=[tex]\frac{b}{ \frac{b.3 \sqrt{7} }{7} }[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{7} }{3}[/tex]

[S.B.]

Върху хипотенузата AB на правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex]са взети точките K и L, така че AK=KL=LB. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], ако е известно, че CK=[tex]\sqrt{2}×CL[/tex].

Без заглавие - 2021-08-25T213405.708.png (164.63 KiB) Прегледано 551 пъти

В никакъв случай не желая да омаловажавам труда на Евва!
Може и да греша,но на мен ми се струва,че условието на задачата е нeкоректно:
От условието,че [tex]CK = CL. \sqrt{2} \rightarrow \triangle CKL[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow CL = \frac{c}{3} , \angle KCL = 45 ^\circ[/tex]
Тогава [tex]\triangle KLC \cong \triangle LBC \Rightarrow \angle BCL = 45 ^\circ \Rightarrow \angle KCB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle ACB > 90 ^\circ[/tex]
Или получи се,че [tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен,което противоречи на условието,че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $AB$

[Гост]

Върху хипотенузата AB на правоъгълния [tex]\triangle ABC[/tex]са взети точките K и L, така че AK=KL=LB. Да се намерят ъглите на [tex]\triangle ABC[/tex], ако е известно, че CK=[tex]\sqrt{2}×CL[/tex].

Без заглавие - 2021-08-25T213405.708.png

В никакъв случай не желая да омаловажавам труда на Евва!
Може и да греша,но на мен ми се струва,че условието на задачата е нeкоректно:
От условието,че [tex]CK = CL. \sqrt{2} \rightarrow \triangle CKL[/tex] е равнобедрен правоъгълен [tex]\Rightarrow CL = \frac{c}{3} , \angle KCL = 45 ^\circ[/tex]
Тогава [tex]\triangle KLC \cong \triangle LBC \Rightarrow \angle BCL = 45 ^\circ \Rightarrow \angle KCB = 90 ^\circ \Rightarrow \angle ACB > 90 ^\circ[/tex]
Или получи се,че [tex]\triangle ABC[/tex] е тъпоъгълен,което противоречи на условието,че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен с хипотенуза $AB$

защо реши, че CL е височина?

[S.B.]

защо реши, че CL е височина?

Не аз съм решила!Това е следствие от условието на задачата:
От условието [tex]CK = CL \sqrt{2} \Rightarrow \triangle CLK[/tex] е равнобедрен и правоъгълен[tex]\Rightarrow CL \bot LK[/tex]
Ако ти считаш,че през точка $C$ съществува втори перпендикуляр към $AB$ моля,докажи го!

[Гост]

от това условие нищо не следва, затова пак те питам: защо реши, че CL е височина?

[Гост]

Според мен CL също не е височина по следната причина: За да се определи вида на триъгълник трябва да се знаят трите му страни или поне да са изразени чрез един и същи параметър. В случая имаме информация само за две от тях и не можем да твърдим, че KL=CL, откъдето следва вашето твърдение S. B. Благодаря наистина за пълното и подробно решение, много ми помагате!

[S.B.]

Според мен CL също не е височина по следната причина: За да се определи вида на триъгълник трябва да се знаят трите му страни или поне да са изразени чрез един и същи параметър. В случая имаме информация само за две от тях и не можем да твърдим, че KL=CL, откъдето следва вашето твърдение S. B. Благодаря наистина за пълното и подробно решение, много ми помагате!

Без заглавие - 2021-08-26T114413.777.png (230.24 KiB) Прегледано 529 пъти

Може би ще се опиташ сам да построиш отсечка [tex]a = b \sqrt{2}[/tex] , където $b$ е дадена отсечка?
Ако прилежно си учил уроците за алгебричен метод за построение ще си спомниш,че отсечката $a$ е диагонал на квадрат със страна $b$
Хайде сега се опитай да разположиш точките $K$ и $L$ върху правата $AB$, така,че $AK =KL=LB$ и ако точка [tex]C \notin AB[/tex] , построй отсечките $CA,CK,CL,CB$ като спазиш условието [tex]CK = \sqrt{2}CL[/tex] Вземи отсечката $CL$ както решиш и тогава виж какво ще получиш за $CK$ .Ще бъде ли изпълнено за точка $K$ условието,че [tex]K \in AB[/tex]?

[Гост]

В настоящата учебно-изпитна програма, ако сте запозната с нея, не се изучават построителни задачи, така че обяснението Ви за мен остава непонятно.

[Гост]

може би самата Ева ще бъде така добра да ти обясни къде бъркаш...

[Гост]

hyp.PNG (65.74 KiB) Прегледано 451 пъти

[Гост]

ако за страните на триъгълник е дадено, че са в отношение [tex]1:1: \sqrt{2}[/tex], тогава може да се твърди, че е правоъгълен