Ортоцентър

[Гост]

В остроъгълния [tex]\triangle ABC[/tex] с H е означение ортоцентъра, а с O - центърът на описаната около него окръжност. Ако AH=BH=3 и [tex]CH= \sqrt{3}[/tex], да се намери:
А) радиуса R на описаната около ABC окръжност
Б) Ако [tex]AO \cap BC = M[/tex] , то CM=?
Та аз доказах, че AC=BC но разсъжденията ми стигнаха дотам.

[Евва]

а) R=[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{2}[/tex]

б) СМ=[tex]\frac{9 \sqrt{2} }{5}[/tex]
Такива ли са отговорите ?

[Гост]

Да, такива са отговорите!

[Евва]

а) Нека АР и СТ са височините в [tex]\triangle[/tex]АВС , [tex]\angle[/tex]АВС=[tex]\beta[/tex] .
[tex]\triangle[/tex]АТН и [tex]\triangle[/tex]ТВН са правоъгълни , като АН=ВН и НТ=НТ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АТН[tex]\cong[/tex][tex]\triangle[/tex]ТВН тогава АТ=ВТ .
Височината СТ е и медиана в [tex]\triangle[/tex]АВС [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]АВС е равнобедрен АС=ВС
([tex]\triangle[/tex]АНС -sin T) [tex]\frac{AH}{sin(90 ^\circ - \beta) }[/tex]=[tex]\frac{CH}{sin(2 \beta -90 ^\circ )}[/tex]

[tex]\frac{3}{cos \beta }[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{- cos(2 \beta) }[/tex]
-[tex]\sqrt{3}[/tex](2[tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]-1)=cos[tex]\beta[/tex]
2[tex]\sqrt{3}[/tex][tex]cos^{2 }[/tex][tex]\beta[/tex]+cos[tex]\beta[/tex]-[tex]\sqrt{3}[/tex]=0
D=1-4.2[tex]\sqrt{3}[/tex]( -[tex]\sqrt{3}[/tex])=25
cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{-1 \pm5 }{4 \sqrt{3} }[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex] , cos[tex]\beta[/tex]= -[tex]\frac{ \sqrt{3} }{2}[/tex] ще отпадне

Скрит текст: покажи

cos[tex]\beta[/tex]<0 при [tex]\beta[/tex]>90[tex]^\circ[/tex] ,а от [tex]\triangle[/tex]ТВС знаем [tex]\beta[/tex]<90[tex]^\circ[/tex]

Намираме sin[tex]\beta[/tex]=[tex]\sqrt{ \frac{1}{1}- \frac{3}{9} }[/tex]=[tex]\frac{ \sqrt{6} }{3}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]НРС -правоъгълен) cos[tex]\angle[/tex]CHP=[tex]\frac{HP}{HC}[/tex] ;cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{HP}{ \sqrt{3} }[/tex] ;[tex]\frac{ \sqrt{3} }{3}[/tex]=[tex]\frac{HP}{ \sqrt{3} }[/tex] ; HP=1
Чрез Питагор , или sin лесно намираме CP=[tex]\sqrt{2}[/tex] .
([tex]\triangle[/tex]АРС-правоъгълен) [tex]АР^{2 }[/tex]+[tex]СР^{2 }[/tex]=[tex]АС^{2 }[/tex] ; [tex](3+1)^{2 }[/tex]+[tex]( \sqrt{2}) ^{2 }[/tex]=[tex]AC^{2 }[/tex] ; АС=3[tex]\sqrt{2}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]АВС-sin T)[tex]\frac{AC}{sin \beta }[/tex]=2R ; [tex]\frac{3 \sqrt{2} }{ \frac{ \sqrt{6} }{3} }[/tex]=2R ;[tex]\frac{3.3 \sqrt{2} }{ \sqrt{3}. \sqrt{2} }[/tex]=2R
R=[tex]\frac{3 \sqrt{3} }{2}[/tex]

[Евва]

б) AO=CO=R [tex]\triangle[/tex]АОС е равнобедрен [tex]\angle[/tex]САО=[tex]\angle[/tex]АСО=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]
[tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\angle[/tex]ВАО=[tex]\angle[/tex]САВ-[tex]\angle[/tex]САО=[tex]\beta[/tex]-(90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]) =2[tex]\beta[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]

[tex]\angle[/tex]САМ+[tex]\angle[/tex]ВАМ=[tex]\angle[/tex]САВ ;[tex]\angle[/tex]САМ+2[tex]\beta[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]=[tex]\beta[/tex] ;[tex]\angle[/tex]САМ=90[tex]^\circ[/tex]-[tex]\beta[/tex]

[tex]\angle[/tex]АМС-външен за [tex]\triangle[/tex]АВМ [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АМС=[tex]\angle[/tex]ВАМ+[tex]\angle[/tex]АВМ=2[tex]\beta[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]+[tex]\beta[/tex] [tex]\angle[/tex]AMC=3[tex]\beta[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]

([tex]\triangle[/tex]АМС-sin T) [tex]\frac{CM}{sin(90 ^\circ- \beta )}[/tex]=[tex]\frac{AC}{sin(3 \beta-90 ^\circ )}[/tex]

CM=[tex]\frac{3 \sqrt{2}cos \beta }{- cos(3 \beta) }[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{2} cos \beta }{- cos \beta (4 cos^{2 } \beta-3) }[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{2} }{3-4 cos^{2 } \beta }[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{2} }{ \frac{3}{1}-4. \frac{1}{3} }[/tex]=[tex]\frac{3 \sqrt{2} }{ \frac{9-4}{3} }[/tex]=[tex]\frac{9 \sqrt{2} }{5}[/tex]