Зaдaчa, комбинирaнa с геометричнa и aритметичнa прогресия

[Wiktor]

Добър ден на всички читатели. Имам малък проблем с една задача; ето го условието:

От четири числa първите три обрaзувaт геометричнa прогресия, a последните три - aритметичнa прогресия. Нaмерете числaтa, aко сборът нa двете средни числa е 12, a сборът нa двете крaйни е 14.

Моят проблем: Получавам отговора, но частично; не си виждам грешката.
Може ли някой да ми посочи къде съм сгрешил?

Моето решение:

Некa тези четири числa сa [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex], [tex]a_{3 }[/tex], [tex]а_{4 }[/tex].

Геометрична прогресия: [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex], [tex]a_{3 }[/tex]
Аритметична прогресия: [tex]a_{2 }[/tex], [tex]a_{3 }[/tex], [tex]а_{4 }[/tex]


[tex]а_{2 }[/tex]+[tex]а_{3 }[/tex] = 12 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{2 }[/tex] = 12 - [tex]а_{3 }[/tex]
[tex]а_{1 }[/tex]+[tex]а_{4 }[/tex] = 14 [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]а_{4 }[/tex] = 14 - [tex]а_{1 }[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] Геометрична прогресия: [tex]а_{1 }[/tex], 12 - [tex]а_{3 }[/tex], [tex]а_{3 }[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] Аритметична прогресия: 12 - [tex]а_{3 }[/tex], [tex]а_{3 }[/tex], 14 - [tex]а_{1 }[/tex]

За геометричната прогресия знам, че [tex]а_{n } ^{2 }[/tex] = [tex]а_{n-1 }[/tex]*[tex]а_{n+1 }[/tex]
За аритметичната знам, че [tex]а_{n }[/tex] = [tex]\frac{ a_{n-1 }+ а_{n+1} }{2}[/tex]

Съставям система от формулите, посочени горе; следовaтелно зaмествaм и с членовете от прогресиятa.

[tex]\begin{array}{|l} (12- a_{3 }) ^{2 } = a_{1 }* a_{3 } \\ 2*a_{3} = 12 - a_{3 } + 14 - a_{1 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (12- a_{3 }) ^{2 } = a_{1 }* a_{3 } \\ 3*a_{3} = 26 - a_{1 } \end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} (12- a_{3 }) ^{2 } = a_{1 }* a_{3 } \\ 26 - 3*a_{3} = a_{1 } \end{array}[/tex]

Замествам горе и получавам квадратно уравнение:

[tex]\begin{array}{|l} a_{1 } = 26 - 3a_{3} \\ 2а_{3 }^{2 } - 25 а_{3 } + 72 = 0 \end{array}[/tex]

Хващам квадратното уравнение и му намирам корените, които са:

[tex]а_{3 }[/tex] = 8 и другия [tex]а_{3 }[/tex] = [tex]\frac{9}{2}[/tex]

От [tex]а_{3 }[/tex] = 8, намирам [tex]a_{1 }[/tex], [tex]a_{2 }[/tex], [tex]а_{4 }[/tex]
[tex]а_{1 }[/tex] = 2; [tex]а_{2 }[/tex] = 4; [tex]а_{3 }[/tex] = 8; [tex]а_{4 }[/tex] = 12.

Дотук добре. Намерих част от отговора на задачата, за която говорех; обаче като хвана [tex]а_{3 }[/tex] = [tex]\frac{9}{2}[/tex], отговорите не ми се получават.

[tex]а_{1 }[/tex] = [tex]\frac{25}{2}[/tex]; [tex]а_{2 }[/tex] = [tex]\frac{15}{2}[/tex]; [tex]а_{3 }[/tex] = [tex]\frac{9}{2}[/tex]; [tex]а_{4 }[/tex] = [tex]\frac{3}{2}[/tex]

Отговорите в учебника са:

2, 4, 8 , 12 или [tex]\frac{45}{4}[/tex], [tex]\frac{27}{4}[/tex], [tex]\frac{9}{4}[/tex], [tex]\frac{3}{4}[/tex]


Първата част я получих, но втората ( с дробите ) - не.
Бих оценил ако някой посочи грешката. И също благодаря предварително за отговора!

[S.B.]

Аз мисля,че твоите отговори са верните
Виж ТУК
Тази задача се различава от твоята само по това ,че тук се търсят растящи аритметична и геометрична прогресия.

[KOPMOPAH]

...Нaмерете числaтa, aко сборът нa двете средни числa е 12, a сборът нa двете крaйни е 14. ...
...
Отговорите в учебника са:

2, 4, 8 , 12 или [tex]\frac{45}{4}[/tex], [tex]\frac{27}{4}[/tex], [tex]\frac{9}{4}[/tex], [tex]\frac{3}{4}[/tex]...

Двете крайни дроби са $\frac {45}4$ и $\frac 34$. Тогава имаме $$\frac {45}4+\frac 34=\frac {48}4=12 \ne 14$$Също така двете средни дроби са $\frac {27}4$ и $\frac {9}4$ и за тях получаваме$$\frac {27}4+\frac {9}4=\frac {36}4=9\ne 12$$Извод: Отговорите в учебника са грешни!