Докажете, че от това равенство триъгълникът е правоъгълен

[Гост]

Докажете, че ако [tex]m_{а } ^{2 } + m_{b }^{2 } = 5 m_{c } ^{2 }[/tex], триъгълникът е правоъгълен.

[Wiktor]

Чуеш ли правоъгълен триъгълник, веднага се сещай за питагоровата теорема!
За тази задача ти трябват няколко правила и ще ги изброя.

1. Медианата свързва върха на триъгълника със срещулежащата му страна.
2. В правоъгълния триъгълник, медианата е половината от хипотенузата.
3. Медианата дели една страна на две равни части.
4. Питагоровата теорема: [tex]АB^{2 } = АC^{2 } + BC^{2 }[/tex], където АB е хипотенузата, а BC и АC - катети.

Прилагам чертеж. Не е най-добрия, защото е от MS Pаint, но ще свърши работа.

Нека [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен, [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АCB = 90[tex]^\circ[/tex].
Нека СМ, [tex]АМ_{1 } и BM_{2 }[/tex] са медиани съответно на АB, BC и АC.
Нека G e пресечната точка на медианите (медицентър).

Гледай чертежа, ако искаш да разбереш за какво говоря!

Разгл. [tex]\triangle[/tex] А[tex]М_{1 }С[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] правоъгълен.
Търсим хипотенузата, която се явява медиана на [tex]\triangle[/tex]АBC.

[tex]АМ_{1 } ^{2 } = АС^{2 }+ \frac{ ВС^{2 } }{4}[/tex]

Разгл. [tex]\triangle[/tex] В[tex]М_{2 }С[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] правоъгълен.
Търсим хипотенузата, която се явява медиана на [tex]\triangle[/tex]АBC.

[tex]ВМ_{2 } ^{2 } = ВС^{2 }+ \frac{ АС^{2 } }{4}[/tex]

За медианата СМ ще приложим само, че тя е 1/2 от хипотенузата АВ.
Ще го запиша така:

СМ = [tex]\frac{1}{2}АВ[/tex].
И също за да докажа равенството, трябва ми квадрата на СМ... [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]СМ^{2 } = \frac{1}{4} АВ^{2 }[/tex]


Добре. Сега събираме квадратите на медианите. Хващам [tex]АМ_{1 }^{2 }[/tex] и [tex]ВМ_{2 } ^{2 }[/tex].
На този етап вече ще означа медианите с буквите, които си означил(а).

[tex]АМ_{1 } = m_{а }; BM_{2} = m_{b }; CM = m_{c }[/tex].

[tex]m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 } = \frac{ АC^{2 } }{4}+ BC^{2 }+ \frac{ BC^{2 } }{4}+ АC^{2 }[/tex]
Намирам най-малко общо кратно и ги групирам така, че да мога отново да приложа питагорова теорема.

[tex]4(m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 }) = ( АC^{2 }+ BC^{2 })+4( АC^{2 }+BC^2)[/tex]
Прилагам притагорова теорема.
[tex]4(m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 }) = АВ^{2 }+4АВ^{2 } \Rightarrow 4(m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 }) = 5АВ^{2 }[/tex]

Дотук супер. Сега хващам си равенството, което получих от [tex]СМ^{2 }=m_{c }^{ 2} = \frac{1}{4} АB^{2 }[/tex].
От него ще получа, че [tex]АB^{2 } = 4 m_{c }[/tex].
Замествам при полученото.

[tex]4*(m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 }) = 4*(5 m_{c } ^{2 })[/tex]
Деля на 4 и стигам до крайния резултат

[tex]m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 } = 5 m_{c } ^{2 }[/tex]

Надявам се да съм ти бил полезен.

[Wiktor]

Чертежът.

[Евва]

(2 начин) Ако знаем формулите за медиана в тр-к [tex]m_{a } ^{2 }[/tex]=[tex]\frac{2 b^{2 }+2 c^{2 } - a^{2 } }{4}[/tex], то можем да заместим
( [tex]m_{a } ,m_{b} ,m_{c}[/tex] )директно в даденото [tex]m_{a } ^{2}+ m_{b } ^{2 }= 5 m_{c } ^{2 }[/tex] .

Опростяваме ур-то и получаваме 9[tex]c^{2 }[/tex]=9[tex]a^{2 }[/tex]+9[tex]b^{2 }[/tex] .
т .е. [tex]a^{2 }+b^{2}=c^{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] тр-ът е правоъгълен

[S.B.]

Нека [tex]\triangle[/tex]АВС е правоъгълен, [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]АCB = 90[tex]^\circ[/tex].
.................................................................................................
Деля на 4 и стигам до крайния резултат

[tex]m_{а } ^{2 }+m_{b } ^{2 } = 5 m_{c } ^{2 }[/tex]

Май трябваше да бъде обратно:
От [tex]m_{a } ^{2 } + m_{b } ^{2 } = 5 m_{c } ^{2 }[/tex] да стигнеш до крайния резултат,че [tex]\triangle ABC[/tex] е правоъгълен !!!

[S.B.]

Докажете, че ако [tex]m_{а } ^{2 } + m_{b }^{2 } = 5 m_{c } ^{2 }[/tex], триъгълникът е правоъгълен.

Без заглавие - 2021-11-20T110639.866.png (419.75 KiB) Прегледано 394 пъти

Нека [tex]AC = b , BC = a , AB = c[/tex]
[tex]A A_{1 } = m_{a } , B B_{1 } = m_{b } , CM = m_{c }[/tex] (медиани)
[tex]\angle A = \alpha , \angle B = \beta ,\angle C = \gamma[/tex]
За [tex]\triangle A A_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]A A_{1 } ^{2 } = AC^{2 } + A_{1 }C ^{2 } - 2.AC. A_{1 }C.\cos \angle C = m_{a } ^{2 } = b^{2 } + ( \frac{a}{2}) ^{2 } - 2.b. \frac{a}{2} .\cos \gamma \Rightarrow[/tex]
$$ m_{a } ^{2 } = b^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} - ab\cos \gamma $$
За [tex]\triangle B B_{1 }C[/tex] прилагам Косинусова теорема и получавам:
$$ m_{b } ^{2 } = a^{2 } + \frac{ b^{2 } }{4} - ab\cos \gamma $$
[tex]m_{a } ^{2 } + m_{b } ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } + \frac{ a^{2 } }{4} + \frac{ b^{2 } }{4} - 2.ab.\cos \gamma \Leftrightarrow[/tex]
$$ m_{a } ^{2 } + m_{b } ^{2 } = \frac{1}{4}(5 a^{2 } + 5 b^{2 } - 8ab\cos \gamma )$$

Скрит текст: покажи

Видиш ли медиана - продължи я и я удвои!(Старо златно правило!)

Продължавам медианата $CM$ до точка [tex]C_{1 }[/tex] ,така,че [tex]CM = M C_{1 } \Rightarrow C C_{1 } = 2 m_{c }[/tex]
От [tex]\triangle AMC \cong \triangle BM C_{1 }[/tex] (първи признак) [tex]\rightarrow B C_{1 } = AC = b , \angle MB C_{1 } = \angle MAC = \alpha \Rightarrow \angle CB C_{1 } = \alpha + \beta[/tex]
За [tex]\triangle C C_{1 }B[/tex] прилагам Косинусова теорема:

[tex]C C_{1 } ^{2 } = CB^{2 } + B C_{1 } ^{2 } - 2 BC.B C_{1 }\cos \angle CB C_{1 } \Leftrightarrow (2 m_{c }) ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2ab\cos( \alpha + \beta )[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ \Rightarrow \alpha + \beta = 180 ^\circ - \gamma[/tex]
[tex]4 m_{c } ^{2 } = a^{2 } + b^{2 } - 2ab\cos(180 ^\circ - \gamma ) \Leftrightarrow m_{c } ^{2 } = \frac{1}{4}( a^{2 } + b^{2 } + 2ab\cos \gamma) \Rightarrow[/tex]
$$ 5 m_{c } ^{2 } = \frac{5}{4}( a^{2 } + b^{2 } + 2ab\cos \gamma) $$

От условието,че [tex]m_{a } ^{2 } + m_{b } ^{2 } = 5 m_{c } ^{2 } \rightarrow[/tex]
[tex]\frac{1}{4}( 5 a^{2 } + 5 b^{2 } - 8ab\cos \gamma ) = \frac{5}{4}( a^{2 } + b^{2 } + 2ab\cos \gamma) \Leftrightarrow 5 a^{2 } + 5 b^{2 } - 8ab\cos \gamma = 5 a^{2 } + 5 b^{2 } + 10ab\cos \gamma \Leftrightarrow[/tex]
[tex]-8ab\cos \gamma - 10ab\cos \gamma = 0 \Rightarrow 18ab\cos \gamma = 0[/tex]
[tex]18ab \ne 0 \Rightarrow \cos \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 90 ^\circ[/tex]
[tex]\angle C = \gamma = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е правоъгълен