Аритметична прогресия

[Гост]

Една задача ме затруднява и ще съм много благодарна ако някой я реши и обясни.

Дължината на страните на правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика 3. Радиусът на вписаната окръжност е:
а)3 б)7,5 в)6 г)4,5

[S.B.]

Една задача ме затруднява и ще съм много благодарна ако някой я реши и обясни.

Дължината на страните на правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия с разлика 3. Радиусът на вписаната окръжност е:
а)3 б)7,5 в)6 г)4,5

Без заглавие - 2021-12-03T230641.547.png (204.79 KiB) Прегледано 403 пъти

Нека по- малкият катет $b = x - 3$ , катета $a = x$ , а хипотенузата $c= x +3$
Според условието дължините на страните образуват аритметична прогресия:
[tex]\div b,a,c \Leftrightarrow \div x-3,x,x+3[/tex]
Триъгълникът е правоъгълен :
[tex]\Rightarrow c^{2 } = a^{2 } + b^{2 } \Leftrightarrow (x + 3)^{2 } = (x - 3)^{2 } + x^{2 } \Leftrightarrow (x + 3)^{2 }- (x - 3)^{2 } = x^{2 } \Leftrightarrow 12x - x^{2 } = 0 \Leftrightarrow x(12 - x) = 0[/tex]
[tex]x \ne 0 \Rightarrow 12 - x = 0 \Rightarrow x = 12[/tex]
[tex]\Rightarrow b = 9 , a = 12 , c = 15[/tex]
Знаеш ,че [tex]p = c + r[/tex]
[tex]p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{9 + 12 + 15}{2} = 18 \Rightarrow 18 = 15 + r \Rightarrow r = 3[/tex]

[Alex0526]

Здравейте, тази задача ме затруднява може ли помощ.

Сборът на три числа е 18, а произведението им е 120. Намерете числата, ако те са последователни членове на растяща аритметична прогресия.

Благодаря!

[S.B.]

Здравейте, тази задача ме затруднява може ли помощ.

Сборът на три числа е 18, а произведението им е 120. Намерете числата, ако те са последователни членове на растяща аритметична прогресия.

Благодаря!

Щом трите числа образуват растяща аритметична прогресия,то тяхното представяне е:
[tex]\div a - d, a, a + d[/tex] ,където $d > 0$
Сборът им е $18$ : [tex]\Rightarrow a - d + a + a+ d= 18 \Leftrightarrow 3a = 18 \Rightarrow a = 6[/tex]
Сега прогресията добива вида:
[tex]\div 6 - d , 6 , 6 + d[/tex]
Произведението им е $120$ :
[tex]\Rightarrow(6 - d).6.(6 + d) = 120 \Leftrightarrow(6 - d)(6 + d) = 20 \Leftrightarrow 36 - d^{2 } = 20 \Leftrightarrow d^{2 } = 16 \Rightarrow d_{1,2 } = \pm 4[/tex]
Прогресията е разтяща [tex]\Rightarrow d>0 \Rightarrow d = 4[/tex]
Числата са : $$ 2,6,10$$