Неравенства 2

[prodanov]

1) [tex]x^5+3x^3-4x \ge 0[/tex]

2) [tex]x^4 - 4x + 3[/tex]


Извинявам се ,че не давам много информация, след час, като се прибера, ще дам.

И двете са полиноми, Втората получавам [tex](x-1)^2(x^2+2x+3)[/tex]. Второто няма решение(Д по-малко от 0), второто е от четна степен => получавам [tex]x \in R[/tex]. В учебника не е така, има корен от 3.

Втората задача отново полином ,но свободния член ми излиза 0?!?!

Сега се сетих ,че ако разделя на х двете страни май ще се получи. Като се прибера ще пробвам и ще пиша, но помогнете поне за втората. Не знам що не се получава.

[ptj]

От много бързане не си я завършил (2-рата).

[tex]x^5+3x^3-4x \ge 0[/tex]
[tex]x(x^2+4)(x^2-1) \ge[/tex]
Предполагам, че [tex]x\in R[/tex], a тогава корени са [tex]x=-1,0,1[/tex].
окончателно [tex]x\in [-1;0]\cup [1;+\infty][/tex].

[amsara]

Da, vtorata v tozi i vid e samo edin mnogochlen,kakyv e znakyt na neravenstvoto?

[ptj]

...
2) [tex]x^4 - 4x + 3[/tex]


В учебника не е така, има корен от 3.

Щом има корен 3 най-вероятно е сгрешена най-високата степен на x и тя трябва да е 2, т.е.
[tex]x^2-4x+3[/tex]

[prodanov]

Мерси за отговорите!

Ето какво правя аз:

[tex]x^4 - 4x + 3 \ge 0[/tex]

Това е полином, от таблицата на Хорнер получавам: [tex](x-1)^2(x^2+2x+3)[/tex]

Тъй като уравнението [tex]x^2+2x+3=0[/tex] e по-голямо от 0 за всяко x, остава единствено [tex](x-1)^2[/tex].

Тъй като е от четна степен (...???...) няма интервал. Много шантаво е описано в учебника и хич не разбирам обяснението, но значението.

Т.е според това, което съм получил, [tex]x \in (-\infty , +\infty )[/tex]. Ако задачата е грешна, но и моето решение, ще се радвам някой да ме поправи.


Втората:
[tex]x^5-3x^2-4x \ge 0[/tex]

Деля двете страни на x.

[tex]x^4 - 3x - 4 \ge 0[/tex]

От таблицата на Хорнер получавам [tex](x-1)(x+1)(x^2+4)[/tex]

Съответно 3 уравнения:
[tex]x+1=0 <=> x=-1[/tex]
[tex]x-1=0 <=> x=1[/tex]
[tex]x^2=4 <=> x=\pm 2[/tex]

Отново поради неразбираемото обяснение в учебника,[tex]\pm 2[/tex] отпада, защото е четна степен.

Изобразявайки получените корени чрез метода на интервалите, получавам: [tex]x \in (-\infty ,1)\cup (1, \infty)[/tex]

Всичко правя по учебник и не го получавам. ptj правилно я е решил.

[amsara]

Imash greshka...Uravnenie ot vida X^2+4=0 ne moje da ima koreni
2 i -2,zashtoto
x^2=-4

[martin.nikolov]

Също така не може да делиш на x.

[amsara]

Също така не може да делиш на x.

Da, i tova shtqh da napisha, ama zabravih.Kak delish na x bez da znaesh stoinostta mu?Ta nali x moje da e otricatelno chislo.A tova bi dovelo do promqna v znaka(posokata) na nerevenstvoto.Eto edno prostichko onagledqvane s primer.
Imash x>4 Delish na 2 i znaka ne se promenq
xI2>2,toest neravenstvoto si ostava x>4
No q razdeli s -2
-xI2>-2
x<4 Toest znakyt se obryshta.

[Martin Nikovski]

А пък ако [tex]x=0[/tex], става още по-интересно...

[prodanov]

Мноого бързам, ми аз губя един от корените, за тва така се получава.

Сега схванах как се решават тия задачи, остана само загадката с втората степен. Би ли могъл някой да ми я резюмира ,защото хич не я разбирам.
В учебника е даден пример: [tex](x-1)^2(....) \ge 0[/tex].

В тоя случай 1 няма свой интервал и се смята по мнооого особен начин, който ми бяга. Някой би ли разяснил защо така?

Мерси предварително.

П.П В първата задача, която реших в предишния пост, го има. Ето цитат:

остава единствено [tex](x-1)^2[/tex].

Тъй като е от четна степен (...???...) няма интервал. Много шантаво е описано в учебника и хич не разбирам обяснението, но значението.

Т.е според това, което съм получил, [tex]x \in (-\infty , +\infty )[/tex]. Ако задачата е грешна, но и моето решение, ще се радвам някой да ме поправи.

[ptj]

Може би е било [tex](x^2+1)(...)\ge0[/tex].
Тогава първия израз в скобите не се нулира за никое [tex]x\in R[/tex], защото [tex]x^2 \ge 0[/tex].

Понеже по принцип в училище разглеждате само непрекъснати функции (лявата част на неравенството) ,то факта че някоя от тях няма реални корени или казано по друг начин не пресича оста [tex]OY: (y=0)[/tex] означава, че тя (функцията) приема или само положителни или само отрицателни стойности. Тогава може да сметнете на колко е равна в някое произволно [tex]x[/tex] (например при х=0) и какъвто е знака на резултата той ще е същия винаги (положителен или отрицателен).

Може би са се опитвали да ви го обясняват посредством знака пред най-високата степен, но според мен е малко по-сложно за средното ниво на 8-мо класниците.

[amsara]

ptj,a zashto reshi, che stava rech za osmoklasnici? Temata e pusnata v razdel 10 klas..

[allier]

Проданов, извинявай, че ще ти го кажа директно, но ти липсват доста базисни знания от предните няколко класа. Браво, че се опитваш сам да си решаваш задачите, но честно да ти кажа, без някой да седне лично да ти ги обясни нещата, няма да стане ... От обяснениета тук във форума най-много да се объркаш още повече, така че намери си някой по-знаещ съученик да ти обясни теорията.

[ptj]

ptj,a zashto reshi, che stava rech za osmoklasnici? Temata e pusnata v razdel 10 klas..

Защото квадратни уравнения и метод на интервалите повечето ги учеха в 8 клас. В 10 бяха граници на фукнкции и производни. Освен заради делението на полиноми или нещо друго да са им прибавили към 10 клас.

П.П. Ти като още не си стигнала 10-ти клас защо се обаждаш, не всички са с компютър като твоя...

[amsara]

ptj,az ne sym go stignala naistina 10-ti klas,dosta dalech sym ot nego,no pyk ti spored napisanoto v drugi tvoi postove - otdavna si go podminal. Toest pred men stoqt dosta neizucheni kato material neshta, a pred teb - eventualno nqkoi pozabraveni.Davai togava ot strah ot neznanie pri men ili ot pozabravqne pri teb da ne se obajdame izobshto.Nikyde ne pishe v pravilata na foruma, koi spored vyzrastta si i klasa si v uchilishte v koi temi moje da se obajda. Pri zadachi za po-golemite klasove se vkliuchvam samo ako sym ubedena v pravotata si.Nima ne se iziskva ot edin sedmoklasnik idealno da znae, che pri neravenstva ne moje da deli na x, kakto i tova, che uravnenie ot vida X^2+4=0 nqma koreni 2 i -2? Ako otgovoryt na tozi moi vypros e da, ne vijdam prichina da ne spodelq nai-dobronamereno s desetoklasnika prodanov onova, koeto se uchi oshte v 7 klas.

[Martin Nikovski]

prodanov, вероятно имаш предвид, че не разбираш какво става, ако някой от множителите е на степен.
Както знаем, в едно "нормално" неравенство, чиято лява страна е произведение, намираме интервала на [tex]x[/tex] с метода на интервалите.
Например: [tex](x-3)(x-2)(x-7)\ge0[/tex]
Намираме стойностите на [tex]x[/tex], при които лявата страна става [tex]0[/tex]. Това са: [tex]x=2[/tex], [tex]x=3[/tex] и [tex]x=7[/tex]. Нанасяме ги върху числовата ос.

Метод на интервалите.

Drawing.jpg (6.31 KiB) Прегледано 555 пъти

Виждаме, кои части отговарят на условието (в случая са над числовата ос, тъй като знакът е [tex]\ge0[/tex]).
Това са интервалите, към които принадлежи [tex]x[/tex].
В конкретния пример: [tex]x\in[2;3]\cup [7;\infty )[/tex]

Какво се случва обаче, ако някой (някои) от множителите са на степен?
Ако степента е нечетна, това по никакъв начин не се отразява на решението. (1, 3, 5...)
Ако степента е четна (2, 4, 6...), "изпускаме" съответното число на числовата ос. Можем изобщо да не го отбележим или да поставим знак, за да не го забравяме!
Ще използвам същия пример, но множителият [tex]x-3[/tex] ще е на втора степен.
[tex](x-3)^2(x-2)(x-7)\ge0[/tex]
Отново стойностите, при които лявата страна става [tex]0[/tex], са [tex]x=2[/tex], [tex]x=3[/tex] и [tex]x=7[/tex]. Нанасяме ги върху числовата ос, като не забравяме особеността при [tex]x=3[/tex].

Метод на интервалите (с особеност).

Drawing2.jpg (6.26 KiB) Прегледано 555 пъти

Виждаме, че решението в този случай е [tex]x\in(-\infty ;2]\cup [7;+\infty)[/tex]
Надявам се, че е станало по-понятно...

[allier]

В допълнение към поста на Мартин, ако неравенството е строго, т.е. > или <, трябва все пак да отбележиш и четните степени, защото те не са решения. Т.е. накрая, ако принадлежат на интервалите, които си получил, трябва да махнеш въпросните числа, които анулират четните степени.

[ptj]

ptj,az ne sym go stignala naistina 10-ti klas,dosta dalech sym ot nego,no pyk ti spored napisanoto v drugi tvoi postove - otdavna si go podminal. Toest pred men stoqt dosta neizucheni kato material neshta, a pred teb - eventualno nqkoi pozabraveni.Davai togava ot strah ot neznanie pri men ili ot pozabravqne pri teb da ne se obajdame izobshto.Nikyde ne pishe v pravilata na foruma, koi spored vyzrastta si i klasa si v uchilishte v koi temi moje da se obajda. Pri zadachi za po-golemite klasove se vkliuchvam samo ako sym ubedena v pravotata si.Nima ne se iziskva ot edin sedmoklasnik idealno da znae, che pri neravenstva ne moje da deli na x, kakto i tova, che uravnenie ot vida X^2+4=0 nqma koreni 2 i -2? Ako otgovoryt na tozi moi vypros e da, ne vijdam prichina da ne spodelq nai-dobronamereno s desetoklasnika prodanov onova, koeto se uchi oshte v 7 klas.

Не се връзвай. Разбира се, че се шегувах. Може да пишеш навсякъде, където ти е интересно. И да не си убедена в знанията си или направиш грешка, някой друг ще ти я покаже. В това няма нищо лошо.

П.П. Имаш една задачка за "Цветните числа", която още чака.

[amsara]

Не се връзвай. Разбира се, че се шегувах. Може да пишеш навсякъде, където ти е интересно. И да не си убедена в знанията си или направиш грешка, някой друг ще ти я покаже. В това няма нищо лошо.

П.П. Имаш една задачка за "Цветните числа", която още чака.

Otivam da q pogledna, syvsem zabravih za ostanalite dve zadachi sled tazi za muhata.Vypreki che se symnqvam che shte moga da napravq neshto po neq.Vyprosniqt princip na Dirihle za chekmedjetata ne se uchi po normalnata uchebna programa pone do 7 klas vkliuchitelno, no sym chela malko za nego v matematicheskata chitanka na SMG. To obache samo s prochitene na principa ne stava.

[prodanov]

...

Оценявам много това, мерси!

Прав си, зле се изразих. По-скоро проблемът е друг. Кога множеството от тези корени, които са от четна степен, влиза в сила.

За да не разтягам локуми, конкретно пример и резултат.
Задача: [tex]x^3 - 4x^2 + 5x - 2 \ge 0[/tex]

<=> [tex](x-1) (x^2-3x+2) <=> (x-1)^2(x-2)[/tex]
//корените на квадратното уравнение са 1 и 2.

Следва, че коренът 1 отпада, но го поставяме на оста, докато другият, от нечетна степен, е в пълна сила - именно 2.

От където трябва да се получи чертежа:


Черната част е ясна, червената - не чак толкова. Какво не ясно:
Самият отговор в учебника, именно: [tex]x \in {1} \cup (2,+\infty )[/tex]
т.е корен 1 привежда уравнението до 0, което влиза в интервала от търсени стойности.

По-конкретно за неясната част: Попадам на задачи, в които влизат тези числа от четна степен, и такива в които те не участват. Иначе казано: как се определя кога води до 0, винаги ли е 0 (тук питам единствено и само за тези от четна степен, другите ги знам)? Ей те това не го пише в учебника.
Всичко това са предпоставки и хипотези от моя страна, опитвам се да се убедя, че са верни за да ги прилагам без да се чувствам несигурен. Aко тези стойности, от четна степен, винаги клонят към 0, поне така забелязвам в задачите, където ги срещам, тогава не е ли по-удобно да ги нанасяме, като прекъснем интервала, сякаш те са корен от нечетна степен, но не обръщаме знака в новият интервал? Ето така:


Ако дадеш потвръждение, ще съм много благодарен. Би ми било много по-лесно да ги решавам по горепосочения начин.

[ptj]

Ще ти го обясня по друг начин,
ако имаш двоен(или четен) корен, то графиката се променя огледално (спрямо [tex]OX[/tex]) за всички числа наляво от него (корена) на абцисната ос (в сравнение със случая когато е един).

Втория ти чертеж е правилен. За да ти стане ясно, това което ти написах,
направи си чертеж за [tex](x-1)(x-2)\ge0[/tex] и го сравни със съответния за [tex](x-1)^2(x-2)\ge0[/tex].

[allier]

Двойните корени (или четни, по-общо) само трябва да се проверят дали са решения на оригиналното неравенство или не. След това си ги отбелязваш върху числовата ос, ако са ти решения ги заграждай например, ако не са - сложи едно малко кръстче. После като правиш окончателния отговор с интервали съответно внимаваш да включиш заградените числа и да изключиш кръстчетата. Ето например пробвай се на това неравенство и си напиши цялото решение:

[tex]\frac{(x-1)(x-2)^2(x-3)}{x(x-1)(x-4)^3 } \le 0[/tex]

[prodanov]

Двойните корени (или четни, по-общо) само трябва да се проверят дали са решения на оригиналното неравенство или не. След това си ги отбелязваш върху числовата ос, ако са ти решения ги заграждай например, ако не са - сложи едно малко кръстче. После като правиш окончателния отговор с интервали съответно внимаваш да включиш заградените числа и да изключиш кръстчетата. Ето например пробвай се на това неравенство и си напиши цялото решение:

[tex]\frac{(x-1)(x-2)^2(x-3)}{x(x-1)(x-4)^3 } \le 0[/tex]

D: x != 0, 1, 4 ;
=>
[tex]\frac{\cancel{(x-1)}(x-2)^2(x-3)}{x\cancel{(x-1)}(x-4)^3 } \le 0[/tex]

[tex]\frac{(x-2)^2(x-3)}{x(x-4)^3 } \le 0[/tex]

нечетни корени: 0, 3 ,4;
четни корени: 2;



Ако [tex]y=\frac{(x-2)^2(x-3)}{x(x-4)^3 }[/tex]

при [tex]y > 0[/tex] [tex]x \in (0, 1) \cup (1 , 2) \cup (2, 3) \cup (4, +\infty)[/tex]
при [tex]y \ge 0[/tex] [tex]x \in (0, 1) \cup (1, 3] \cup (4, +\infty)[/tex]
при [tex]y < 0[/tex] [tex]x \in (-\infty, 0) \cup (3,4)[/tex]
при [tex]y \le 0[/tex] [tex]x \in (-\infty, 0) \cup \{2} \cup [3, 4)[/tex]
при [tex]y = 0[/tex] [tex]x_1=2, x_2=3[/tex]

Схванах го, мерси на всички за отгворите! )

[allier]

Браво, разбрал си го!