Имате ли идеи?

[Петър Божанов]

Screenshot_20220221-034321.png (357.87 KiB) Прегледано 356 пъти

20зад.
ABD - правоъгълен и равнобедрен.
ABC- равностранен
Окръжност с диаметър AB пресича страната АС в точка Е.
AB = 20см.

DE=?

[S.B.]

Прикачения файл Screenshot_20220221-034321.png вече е недостъпен

20зад.
ABD - правоъгълен и равнобедрен.
ABC- равностранен
Окръжност с диаметър AB пресича страната АС в точка Е.
AB = 20см.

DE=?

Без заглавие - 2022-02-21T210618.852.png (229.67 KiB) Прегледано 336 пъти

[tex]\triangle ADE[/tex] е вписан в окръжността с диаметър $AB = 20$
[tex]\angle EAD = 60 ^\circ - 45 ^\circ = 15 ^\circ[/tex]
За [tex]\triangle EAD[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{ED}{\sin 15 ^\circ } = AB \Leftrightarrow ED = 20.\sin 15 ^\circ[/tex]
[tex]\sin^{2 } 15 ^\circ = \displaystyle\frac{1 - \cos 30 ^\circ }{2} = \displaystyle\frac{1 - \displaystyle \frac{ \sqrt{3} }{2} }{2} = \displaystyle \frac{2 - \sqrt{3} }{4}[/tex]
[tex]ED = 20 \frac{ \sqrt{2 - \sqrt{3} } }{2} \Rightarrow ED = 10 \sqrt{2 - \sqrt{3} }[/tex]

[Hephaestus]

От теоремата на Питагор за [tex]\triangle ABD ( \angle ADB = 90 ^\circ , AD = BD)[/tex] намираме [tex]AD = BD = 10 \sqrt{2}[/tex]

Дъгата [tex]AD[/tex], съдържаща точката [tex]E[/tex], е [tex]90 ^\circ[/tex], тъй като съответства на вписания ъгъл [tex]\angle ABD = 45 ^\circ[/tex]

Тогава дъгата [tex]AD[/tex], която НЕ съдържа точката [tex]E[/tex], е [tex]270 ^\circ[/tex].

Следователно [tex]\angle AED = \frac{270 ^\circ }{2} = 135 ^\circ[/tex] (вписан ъгъл)

Прилагаме синусовата теорема за [tex]\triangle AED \Rightarrow[/tex]

[tex]\frac{AD}{sin \angle AED} = \frac{ED}{sin \angle EAD} \Leftrightarrow \frac{AD}{sin 135 ^\circ } = \frac{ED}{sin (60 ^\circ - 45 ^\circ })[/tex]

[tex]\frac{ 10\sqrt{2}}{ \frac{\sqrt{2}}{2} } = \frac{ED}{ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} } \Rightarrow ED = 20.\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})[/tex]

Уточнение: Намираме [tex]sin \angle EAD[/tex], като го представим [tex]sin15 ^\circ = sin(45 ^\circ - 30 ^\circ) = sin45 ^\circ cos 30 ^\circ - cos45 ^\circ sin 30 ^\circ[/tex]

[Hephaestus]

Мисля, че със S.B. едновременно сме въвеждали решението.
Отговорът не е грешен, реално сме получили едно и също нещо:

[tex]ED = 10 \sqrt{2 - \sqrt{3} } = 5.2\sqrt{2 - \sqrt{3} } = 5\sqrt{4(2 - \sqrt{3})} = 5\sqrt{8 - 4\sqrt{3} } = 5\sqrt{ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2 } } = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})[/tex]

[S.B.]

Мисля, че със S.B. едновременно сме въвеждали решението.
Отговорът не е грешен, реално сме получили едно и също нещо:

[tex]ED = 10 \sqrt{2 - \sqrt{3} } = 5.2\sqrt{2 - \sqrt{3} } = 5\sqrt{4(2 - \sqrt{3})} = 5\sqrt{8 - 4\sqrt{3} } = 5\sqrt{ (\sqrt{6} - \sqrt{2})^{2 } } = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})[/tex]

Благодаря за уточнението!