Мога ли да реша това уравнение без полагане

[Гост]

добър ден , госпожата каза да реша това уравнение с полагане , но е трудно , да не казвам не възможно.
може ли решение без полагане? !

[tex]x^{2 }-3x-10 + 5 \sqrt{ x^{2 }-3x-10 } = 2 \sqrt{2}. \sqrt{ x^{2 }-3x-10 } + 10 \sqrt{2}[/tex]

[Wiktor]

Естествено, че можеш да решиш задачата без полагане. По принцип задачите имат повече от един начин за решаване.

Ето как бих подходил аз.
Определям дефиниционното множество; ДМ: [tex]x^{2 } - 3x - 10 \ge 0 \Leftrightarrow (x-5)(x+2) \ge 0[/tex], т.е. ДМ: [tex]x \in (- \infty; -2] \cup [5; + \infty)[/tex].

Да разгледаме уравнението. Можем да представим [tex]x^{2 } - 3x - 10[/tex] като [tex]\sqrt{ (x^{2 } - 3x - 10)^{2 } }[/tex].

[tex]\sqrt{ (x^{2 } - 3x - 10)^{2 } } + 5 \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } = 2 \sqrt{2}. \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } + 10 \sqrt{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 }.( \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } +5) = 2 \sqrt{2}( \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } +5)[/tex]
Съкращаваме от двете страни и получаваме:

[tex]\sqrt{ x^{2 } - 3x- 10 } = 2 \sqrt{2}[/tex]
И решаваме по стандартния начин. Стигам до уравнение, чиито корени са [tex]x_{1 } = 6[/tex] и [tex]x_{2 } = -3[/tex].
От ДМ можем да затвърдим, че това са корените на уравнението.

[S.B.]

Да разгледаме уравнението. Можем да представим [tex]x^{2 } - 3x - 10[/tex] като [tex]\sqrt{ (x^{2 } - 3x - 10)^{2 } }[/tex].

А аз си мисля,че [tex]\sqrt{ ( x^{2 }- 3x - 10) ^{2 } } = | x^{2 } - 3x - 10|[/tex]

[Wiktor]

Да разгледаме уравнението. Можем да представим [tex]x^{2 } - 3x - 10[/tex] като [tex]\sqrt{ (x^{2 } - 3x - 10)^{2 } }[/tex].

А аз си мисля,че [tex]\sqrt{ ( x^{2 }- 3x - 10) ^{2 } } = | x^{2 } - 3x - 10|[/tex]

Ах, явно съм изключил напълнооо... Моя грешка.

[S.B.]

добър ден , госпожата каза да реша това уравнение с полагане , но е трудно , да не казвам не възможно.
може ли решение без полагане? !

[tex]x^{2 }-3x-10 + 5 \sqrt{ x^{2 }-3x-10 } = 2 \sqrt{2}. \sqrt{ x^{2 }-3x-10 } + 10 \sqrt{2}[/tex]

[tex]x^{2 } - 3x - 10 + 5 \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } = 2 \sqrt{2}. \sqrt{ x^{2 } - 3x - 10} + 10 \sqrt{2}[/tex]

Д.М.: [tex]x^{2 } - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5) \ge 0 \rightarrow x \in (- \infty ; -2] \cup [5 ; + \infty )[/tex]

Полагам [tex]x^{2 } - 3x - 10 = t^{2 }[/tex]

[tex]t^{2 } + 5t = 2 \sqrt{2}t + 10 \sqrt{2} \Leftrightarrow t^{2 } + (5 - 2 \sqrt{2})t - 10 \sqrt{2} = 0[/tex]

[tex]D = (5 - 2 \sqrt{2}) ^{2 } + 40 \sqrt{2} = 25 - 20 \sqrt{2} + 8 + 40 \sqrt{2} = 25 + 20 \sqrt{2} + 8 = (5 + 2 \sqrt{2}) ^{2 } >0[/tex]

[tex]t_{1,2 } = \frac{-(5 - 2 \sqrt{2}) \pm (5 + 2 \sqrt{2}) }{2}[/tex]
[tex]t_{1 } = \frac{- 5 + 2 \sqrt{2} + 5 + 2 \sqrt{2} }{2} = \frac{4 \sqrt{2} }{2} \Rightarrow t_{1 } = 2 \sqrt{2}[/tex]
[tex]t_{2 } = \frac{-5 + 2 \sqrt{2} - 5 - 2 \sqrt{2} }{2} = \frac{-10}{2} \Rightarrow t_{2 } = -5[/tex]
[tex]t_{1 } = 2 \sqrt{2} \Rightarrow t_{1 } ^{2 } = 8[/tex]
[tex]x^{2 } - 3x - 10 = 8 \Rightarrow x^{2 } - 3x - 18 =0 , D = 81 , x_{1,2 } = \frac{3 \pm 9}{2} \Rightarrow x_{1 } = 6 , x_{2 } = - 3[/tex] принадлежат на Д.М.

[tex]t_{2 } = -5 \Rightarrow t_{2 } ^{2 } = 25[/tex]
[tex]x^{2 } - 3x - 10 = 25 \Leftrightarrow x^{2 } - 3x - 35 = 0 ,D = 149, x_{3,4 } = \frac{3 \pm \sqrt{149} }{2} \approx \frac{3 \pm 12,2}{2}[/tex]
[tex]x_{3 } \approx 7,6 \in[/tex] Д.М. ; [tex]x_{4 } \approx - 4,6 \in[/tex] Д.М.
$$x_{1 } = 6; x_{2 } = -3 ; x_{3 } \approx 7,6 ; x_{4 } \approx -4,6$$

[Wiktor]

Ще предложа още едно друго решение

ДМ: [tex]x^{2 } - 3x - 10 \ge0 \Leftrightarrow (x+2)(x-5) \ge 0 \rightarrow ДМ: x \in (- \infty; -2] \cup [5; + \infty)[/tex]

Полагам [tex]\sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } = u, u \ge 0[/tex]
[tex]x^2 - 3x - 10 = u^{2 }[/tex]

[tex]u^{2 } + 5u = 2 \sqrt{2}. \sqrt{u} + 10 \sqrt{2} \Leftrightarrow u(u+5) - 2 \sqrt{2}(u+5) = 0 \Leftrightarrow (u+5)(u-2 \sqrt{2}) = 0[/tex].

Oт u+5 = 0 [tex]\Rightarrow u = -5,[/tex] но то не е решение, защото сме си задали, че u[tex]\ge 0[/tex]
Oт u-2[tex]\sqrt{2} = 0 \Rightarrow u = 2 \sqrt{2} > 0[/tex].

Връщам се към положеното.
[tex]\sqrt{ x^{2 } - 3x - 10 } = 2\sqrt{2}[/tex] [tex]\Leftrightarrow x^{2 } -3x - 10 = 8 \Leftrightarrow x^{2 } - 3x - 18 = 0.[/tex]
Получаваме, че корените на уравнението са [tex]x_{1 } = 6[/tex] и [tex]x_{2 } = -3.[/tex]. Те са съответно и решение на ирационалното уравнение, защото са от дефиниционната област.

[Гост]

А аз си мисля,че [tex]\sqrt{ ( x^{2 }- 3x - 10) ^{2 } } = | x^{2 } - 3x - 10|[/tex]

А вие не неправихте ли същото тук?

Полагам [tex]x^{2 } - 3x - 10 = t^{2 }[/tex]

Ако коренуваме, получаваме $ \sqrt{ ( x^{2 }- 3x - 10) }=t$
Ако повдигнем на втора, не се ли получава това, за което вие направихте забележка на Wiktor?