Полагане

[Гост]

[tex]x^{2 } - 4x + \sqrt{ x^{2 } - 4x + 4} = 8[/tex]
помогнете

[Wiktor]

Добавете +4 от двете страни.
ДМ: [tex](x-2)^{2 } \ge 0,[/tex] т.е. [tex]\forall x \in (- \infty; + \infty)[/tex]
Ще получим: [tex]x^{2 } - 4x + 4 + \sqrt{ x^{2 } - 4x + 4 } = 12[/tex]
Полагаме [tex]\sqrt{ x^{2 } - 4x + 4 } = t, където t \ge 0.[/tex]
При повдигане на двете страни на положеното ще получим: [tex]x^{2 } - 4x + 4 = t^{2 }[/tex]

Прилагаме:
[tex]t^{2 } + t = 12 \Rightarrow t^{2 } + t - 12 = 0.[/tex]
Решаваме уравнението и получаваме, че корените са: [tex]t_{1 } = 3 > 0, t_{2 } = -4 < 0.[/tex]
Подразбира се, че [tex]t_{2 }[/tex] няма да ни свърши работа, защото сме задали [tex]t\ge 0.[/tex]. Оттук хващаме [tex]t_{1}.[/tex]

Връщам се към положеното.

[tex]\sqrt{ x^{2 } - 4x + 4 } = 3 \Leftrightarrow x^{2 } - 4x + 4 = 9 \Leftrightarrow x^{2 } - 4x - 5 = 0.[/tex]
Решаваме полученото уравнение и получаваме, че корените са [tex]x_{1 } = 5, x_{2 } = -1.[/tex]
И двата корена удовлетворяват дефиниционното множество; оттам следва, че това са и корените на ирационалното уравнение.