Как да подходя

[Гост]

[tex]\sqrt{ x^{2 } +3x-4 }+ \sqrt{ x^{3}+12 x^{2 }-11x-2 } = 0[/tex]

[pal702004]

с ум.
Сбора на две неотрицателни числа кога е нула?

[Гост]

с ум.
Сбора на две неотрицателни числа кога е нула?

Нз отговора бил 1

[ammornil]

[tex]\sqrt{ x^{2 } +3x-4 }+ \sqrt{ x^{3}+12 x^{2 }-11x-2 } = 0[/tex]

.

Сборът на две неотрицателни числа е нула, когато и двете са равни на нула. Оставям това решение за Вас, за упражнение.

Ето общия вид на решение, прилаган независимо дали между четните корени имаме знак + или -.

Решетка на Хорнер показва, че [tex]x^{3}+12 x^{2 }-11x-2=(x-1)(x^{2}+13x+2)[/tex], откъдето след намиране на корените на квадратния тричлен получаваме
[tex]x^{3}+12 x^{2 }-11x-2=(x-1)\left(x-\frac{-13-\sqrt{161}}{2}\right)\left(x-\frac{-13+\sqrt{161}}{2}\right)[/tex]

От друга страна [tex]x^{2 } +3x-4=(x-1)(x+4)[/tex]

ДМ: [tex]\begin{array}{|l} x^{2 } +3x-4 \ge 0 \\ x^{3}+12 x^{2 }-11x-2 \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} (x-1)(x+4) \ge 0 \\ (x-1)\left(x-\frac{-13-\sqrt{161}}{2}\right)\left(x-\frac{-13+\sqrt{161}}{2}\right) \ge 0 \end{array}[/tex]

Screenshot 2022-03-06 143809.png (39.45 KiB) Прегледано 309 пъти

[tex]x \in \left[\frac{-13-\sqrt{161}}{2};-4 \right] \cup [1;+ \infty)[/tex]


[tex]\sqrt{ x^{2 } +3x-4 }=-\sqrt{ x^{3}+12 x^{2 }-11x-2 } |()^{2}[/tex]

[tex](x-1)(x+4)=(x-1)(x^{2}+13x+2) \Leftrightarrow(x-1)(x^{2}+13x+2)-(x-1)(x+4)=0 \Leftrightarrow (x-1)[x^{2}+13x+2-(x+4)]=0 \Leftrightarrow (x-1)(x^{2}+12x-2)=0 \Rightarrow[/tex]

[tex]x_{_{1}} = 1 \cup x^{2}+12x-2=0 \Leftrightarrow x_{_{1} }= 1 \cup x_{_{2,3}}=\frac{-6\pm\sqrt{38}}{1} \Leftrightarrow \begin{cases}x_{_{1} }= 1 \in ДМ \\x_{_{2} }=-6-\sqrt{38}=-(6+\sqrt{38}) \in ДМ \\ x_{_{3} }=-6+\sqrt{38} \notin ДМ \end{cases}[/tex]

Понеже използвахме повдигане на четна степен, за всички корени принадлежащи на ДМ трябва да направим проверка дали са истински (действителен) или ппридобит (неистински) корен.
Проверка:
[tex]\because x=1 \rightarrow \sqrt{ 1^{2 } +3.1-4 }+ \sqrt{ 1^{3}+12 .1^{2 }-11.1-2 } = 0 \Leftrightarrow 0+0=0 \Rightarrow x=1[/tex] е действителен корен.

[tex]\because x=[-(6+\sqrt{38})] \rightarrow \sqrt{ [-(6+\sqrt{38})]^{2 } +3.[-(6+\sqrt{38})]-4 }+ \sqrt{ [-(6+\sqrt{38})]^{3}+12.[-(6+\sqrt{38})] ^{2 }-11.[-(6+\sqrt{38})]-2 } = 0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{36+12\sqrt{38}+38-18-3\sqrt{38}-4} + \sqrt{-(216+108\sqrt{38}+3.6.38+38\sqrt{38})+12.(36+12\sqrt{38}+38)+66+11.\sqrt{38}-2}=0 \Leftrightarrow[/tex]

[tex]\Leftrightarrow \sqrt{52+9\sqrt{38}} + \sqrt{-900-146\sqrt{38}+888+144\sqrt{38}+66+11.\sqrt{38}-2}=0 \Leftrightarrow \sqrt{52+9\sqrt{38}} + \sqrt{52+9\sqrt{38}} \ne 0 \Rightarrow x=-(6+\sqrt{38})[/tex] е недействителен корен.

Остава единствено решение $$x=1$$