Домашно 2 задачи

[MissGrotesque]

1. При записването на всички 7 данни от проведен експеримент се оказало, че числата в ранговия ред образуват растяща геометрична прогресия, като най-малкото от тях е 4, а най-голямото 256. Намерете медианата и средната аритметична стойност на тези данни.


2. Около окръжност с радиус 3см е описан равнобедрен триъгълник с основа 12 см. Намерете обиколката и лицето на триъгълника.

IMG_20220312_184132.jpg (93.68 KiB) Прегледано 378 пъти

[ammornil]

(1) [tex]\doteqdot a_{1}, a_{2}, ... ,a_{7}[/tex]
[tex]a_{1}=4, \phantom{Q} a_{7}=256, \phantom{Q} a_{n}=a_{1} q^{n-1} \Rightarrow a_{7}= a_{1} q^{6} \Rightarrow q=\sqrt[6]{\frac{a_{7}}{a_{1}}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^{6}}=2[/tex]

Множество: [tex]4, 8, 16, 32, 64, 128, 256[/tex]

Медиана: [tex]a_{m} \rightarrow m=\frac{n+1}{2}=4 \Rightarrow a_{m}=a_{4}= 32[/tex]
Средно аритметична стойност: [tex]a_{ср}=\frac{ \sum_{i=1}^{7 }a_{_{i}} }{7}=\frac{S_{7}}{7}=\frac{a_{1}\frac{1-q^{7}}{1-q}}{7}=\frac{4.\frac{1-128}{1-2}}{7}=\frac{4.127}{7}=72\frac{4}{7}[/tex]

[ammornil]

220312_005.png (9.54 KiB) Прегледано 362 пъти

[tex]O[/tex] е пресечна точка на ъглополовящите на ъглите на [tex]\triangle ABC \Rightarrow CO-[/tex] ъглополовяща, но понеже [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен, следва че е и част от височината и медианата от връх [tex]C[/tex].
Продължението на [tex]CO[/tex] пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]M[/tex]. [tex]AM=BM, CM \bot AB, OM=r=3\ cm, CO:OM=2:1 \Rightarrow CM=3.OM=9\ cm[/tex]

[tex]AC=BC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=3\sqrt{13}\ cm[/tex]

[tex]P_{ABC}=AB+2AC=12+2.3\sqrt{13}=12+6\sqrt{13}\ cm[/tex]

[tex]S_{ABC}=\frac{AB.CM}{2}=\frac{12.9}{2}=54\ cm^{2}[/tex]

[Евва]

2 зад.

Скрит текст: покажи

Според мен т.О не е медицентър на [tex]\triangle[/tex]АВС .

[tex]\triangle[/tex]АВС (АС=BC) , K( O;r=3 ) -вписана
Нека т.Н и т.Р са допирните точки на окр.К с основата АВ и бедрото АС .
Нека окр.К пресича височината СН в т.М .
CM=x=? CP=y=?

AO се явява ъглополовяща в [tex]\triangle[/tex]АНС .
[tex]\frac{CO}{HO}[/tex]=[tex]\frac{AC}{AH}[/tex] ; [tex]\frac{x+3}{3}[/tex]=[tex]\frac{y+6}{6}[/tex] ; 2x+6=y+6 [tex]\Rightarrow[/tex] y=2x (1)

( в [tex]\triangle[/tex]POC [tex]\angle[/tex]OPC=90[tex]^\circ[/tex])
[tex]3^{2 }[/tex]+[tex]y^{2 }[/tex]=[tex]( x+3)^{2 }[/tex] (2)
Решаваме системата от двете уравнения и получаваме x=2 см. и y=4 см.
Оставям на Вас удоволствието да завършите решението на задачата .

[ammornil]

Прикачения файл 220312_005.png вече е недостъпен

[tex]O[/tex] е пресечна точка на ъглополовящите на ъглите на [tex]\triangle ABC \Rightarrow CO-[/tex] ъглополовяща, но понеже [tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен, следва че е и част от височината и медианата от връх [tex]C[/tex].
Продължението на [tex]CO[/tex] пресича [tex]AB[/tex] в точка [tex]M[/tex]. [tex]AM=BM, CM \bot AB, OM=r=3\ cm, CO:OM=2:1 \Rightarrow CM=3.OM=9\ cm[/tex]

[tex]AC=BC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=\sqrt{6^{2}+9^{2}}=3\sqrt{13}\ cm[/tex]

[tex]P_{ABC}=AB+2AC=12+2.3\sqrt{13}=12+6\sqrt{13}\ cm[/tex]

[tex]S_{ABC}=\frac{AB.CM}{2}=\frac{12.9}{2}=54\ cm^{2}[/tex]

Eвва e права, медицентъра на равнобедрен триъгълник не съвпада с центъра на вписаната окръжност, това е вярно само за равностранен триъгълник. Оттам предложеното от мен решение не е вярно.
Задачата се решава с пропорция на ъглополовяща: отношението в което една ъглополовяща разделя на части срещулежащата страна е равно на отношението на другите две страни на триъгълника, взети в същия ред.

220312_005.png (13.64 KiB) Прегледано 340 пъти

[tex]\frac{CO}{ОM}=\frac{AC}{AM}[/tex] и после Питагорова теорема за [tex]\triangle AMC[/tex].