Триъгълна пирамида

[Гост]

Триъгълна пирамида има за основа правоъгълен триъгълник с катети 9 и 12см. Околните стени сключват равни ъгли с основата. Височината на пирамидата е равна на √3 см. Определете ъгъла, който сключват околните стени с основата.

[ptj]

Би трябвало да можеш да я решиш на ум без чертеж.

Първо за да са по-лесни сметките - може да разделиш всички метрики на 3. В резултат ще получиш подобна пирамида (всички съответни ъгли ще са същите).
Т.е. ще решаване задача за пирамида с основа правоъгълен триъгълник с катети 3 и 4,, а височината ( на пирамидата) [tex]h=\frac{1}{ \sqrt{3} }[/tex].

Понеже лицето на триъгълника може да се зададе посредством [tex]S= \frac{ab}{2}[/tex] и [tex]S= \frac{(a+b+c).r}{2}[/tex], то веднага може да намериш [tex]r= \frac{3.4}{3=4=5}=1[/tex].

Ъгъла между околна стена и основа е равниния ъгъл между отсечката свързваща центъра на вписаната окръжност с допирната точка от страната и съответната апотема [tex](a)[/tex].
Горното е пряко следствие от теоремата за трите перпрндикуляра. В крайна сметка [tex]r[/tex],[tex]h[/tex] и [tex]a[/tex] са съответно катети и хипотенуза в правоъгълен триъгълник.
Търсения ъгъл може да се намери от [tex]tg( \varphi)= \frac{h}{r}= \frac{1}{ \sqrt{3} }[/tex].
[tex]arctg( \varphi )= \frac{1}{ \sqrt{3} } \Rightarrow \varphi =30 ^\circ[/tex]

П.П. Пропуснах - околните стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато върха на пирамидата се проектира в центъра на вписаната в основата окръжност.