Стереометрия

[Гост]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с радиус на описаната окръжност с радиус на описаната окръжност около основата 2 см и радиус на описаната сфера около пирамидата 6 см. На колко е равна височината на пирамидата?

[S.B.]

Дадена е правилна четириъгълна пирамида с радиус на описаната окръжност с радиус на описаната окръжност около основата 2 см и радиус на описаната сфера около пирамидата 6 см. На колко е равна височината на пирамидата?

Без заглавие - 2022-03-25T135705.030.png (443.05 KiB) Прегледано 307 пъти

Пирамидата $ABCDM$ е правилна ,четириъгълна и основата $ABCD$ е квадрат с диагонал $AC$,следователно радиусът на описаната около основата окръжност е [tex]\frac{AC}{2} = 2[/tex].Върхът на пирамидата се проектира върху пресечната точка на диагоналите - [tex]H , \Rightarrow MH = h[/tex] е височината.
Построявам сечението на пирамидата по диагонала $AC$ и височината $MH$
[tex]M M_{1 } = 12[/tex] е диаметърът на сферата.[tex]\Rightarrow \triangle M M_{1 }C[/tex] е правоъгълен и [tex]CH \bot M M_{1 }[/tex] е височина към хипотенузата [tex]M M_{1 }[/tex]
От метричните свойства в правоъгълен триъгълник имаме:
[tex]CH^{2 } = MH.H M_{1 } \Leftrightarrow 2^{2 }= h(12 - h) \Leftrightarrow h^{2 }- 12h +4 = 0 , D = 128, h_{1,2 } = \frac{12 \pm 8 \sqrt{2} }{2}[/tex]
Има два случая:
[tex]h_{1 } = 6 + 4 \sqrt{2} \approx 11,65 < 12[/tex]
[tex]h_{2 } = 6 -4 \sqrt{2} \approx 0,34[/tex]