Стереометрия

[Гост]

Обемът на правилен тетраедър е 8/3 куб. см. Намерете радиуса на вписаната в него сфера.

[mail_dinko]

Трябва да намерим страната и височината
[tex]V = \frac {B.H}{3} = \frac {8}{3} \Rightarrow B.H = 8[/tex]
В равностранен триъгълник със страна а, изрязяваме височината [tex]h = \sqrt {a^2-\frac{a^2}{4}}= \frac {a \sqrt {3}}{2}[/tex]
[tex]B = \frac 12 a h_a = \frac 12 a . \frac {a \sqrt {3}}{2} = \frac {a^2 \sqrt {3}}{4}[/tex]
[tex]R = \frac {abc}{4B} = \frac {a^3}{a^2 \sqrt {3}} = \frac {a \sqrt {3}}{3}[/tex]
[tex]H= \sqrt {a^2- \frac {a^2}{3}} = \frac {a\sqrt {2}}{\sqrt {3}}[/tex]
[tex]B. H = 8 \Leftrightarrow 8 = \frac {a^2 \sqrt {3}}{4}.\frac {a \sqrt {2}}{\sqrt{3}} \Rightarrow a = 2 \sqrt {2}[/tex]
[tex]V = \frac {B.H}{3} =\frac {a^2 \sqrt {3}.a.\sqrt {2}}{4.3 \sqrt {3}} = \frac {a^3 . \sqrt {2}}{12}[/tex]
[tex]S_1 = 4B = a^2 \sqrt {3}[/tex]
[tex]r= \frac {3V}{S_1} = \frac {a^3 \sqrt {2}}{4. a^2 \sqrt {3}} = \frac {a \sqrt {6}}{12}[/tex]

[Гост]

От кой триъгълник да изразим височината на пирамидата чрез основния ръб a?

[mail_dinko]

От триъгълник с 2 ъгъла от ръб на пирамидата и прав ъгъл центъра на описана окр., проекция на върха в равнината на основата