Описана сфера около правилна триъгълна призма

[Гост]

Околният ръб на правилна триъгълна призма е 2, а основният ръб е 3. Намерете радиуса на описаната около призмата сфера.

[mail_dinko]

При стандартни означения, трябва да намерим радиуса на описаната окръжност около основата - равноб. триъгълник с осн.ръб а
[tex]AB=BC=AC=a[/tex]
[tex]S _{\triangle ABC}= \frac 12 sin 60 ^\circ .a^2 = \frac {\sqrt {3}.a^2}{4}[/tex]
[tex]R = \frac {a^3}{4S}= \frac {a^3}{\sqrt {3} .a^2}= \frac {\sqrt {3}a}{3}[/tex]
Не съм сигурен как да намерим диагонал от диагоналното сечение, някой да коригира, ако има нужда.
Построяваме [tex]CH=h_a \Rightarrow CH = \sqrt {a^2 - \frac {a^2}{4}} \Rightarrow CH = \frac {\sqrt {3}a}{2}[/tex]
По усл. осн. ръб е [tex]a=3 \Rightarrow CH = \frac {3 \sqrt {3}}{2}[/tex]
Околният ръб е [tex]H=2[/tex]
Намираме диагонала [tex]d= \sqrt {H^2+ CH^2}= \sqrt {4+ \frac {27}{4}} = \frac {\sqrt{43}}{2}[/tex]
[tex]r = \frac {\sqrt {43}}{4}[/tex]

[Гост]

Screenshot_20220327-110922.png (713.22 KiB) Прегледано 948 пъти

Нали чертежа е нещо такова

[Гост]

Да и отговорът е R=2,ама сега нямам време

[Гост]

Пътувам и пиша от телефона.Довечера ако не е спешно

[Гост]

[quote="Гост"]Пътувам и пиша от телефона.Довечера ако не е спешно[/quote
Няма проблеми, на ваше разположение съм. А Вие учител сте по принцип?

[mail_dinko]

Значи моето решение е напълно грешно
Извинявам се за което
[tex]CH= \frac {3 \sqrt {2}}{2}[/tex]
Центърът на описаната сфера се проектира в центъра на описаната окр. около основата. В равностранен триъгълник това е медицентърът. Следователно
[tex]AD= \frac 23 CH =\sqrt {3}[/tex]
[tex]OD = \frac {l}{2} = 1[/tex]
[tex]R = \sqrt {(\sqrt {3})^2 + 1^2 } = 2[/tex]

[S.B.]

Пътувам и пиша от телефона.Довечера ако не е спешно

Без заглавие - 2022-03-27T181621.799.png (301.98 KiB) Прегледано 927 пъти

Аз Ви обещах моето решение !
Центърът $S$ на описаната сфера лежи на пресечната точка на симетралните равнини на всички ръбове на призмата.
$S$ е центърът на голяматa окръжност на сферата. Ако [tex]O_{1 }[/tex] и [tex]O_{2 }[/tex] са съответно центровете на описаните около горната и долната основа окръжности, то [tex]S\in O_{1 } O_{2 } , O_{1 }S = O_{2 }S = 1[/tex]
Намирам радиуса на описаната около основата окръжност със Синусова теорема:
[tex]\frac{ B_{1 } C_{1 } }{\sin 60 ^\circ } = 2r \Leftrightarrow 3 = \frac{ \sqrt{3} }{2} .2r \Rightarrow r = \sqrt{3}[/tex]
За [tex]\triangle A_{1 } O_{1 }S[/tex] прилагам Питагорова теорема :[tex]R^{2 } = r^{2 } + O_{1 }S ^{2 } \Leftrightarrow R = \sqrt{1 + 3} \Rightarrow[/tex]
$$R = 2$$