Синусова и косинусова теорема, тригонометрия, задачи

[MissGrotesque]

1. Основите на равнобеден трапец са 10см и 8см, а ъгълт при голямата основа е 45[tex]^\circ[/tex]. Намерете дължината на диагоналите и лицето на трапеца.

2. Даден е ABC,в който BC=5 и ACB=60[tex]^\circ[/tex]. Точката P лежи върху страната AC и BP=7. Намерете:
а) дължината на отсечката CP
б) дължината на страната AB, ако AP:PC= 13:8

[mail_dinko]

Построяваме височината [tex]DH \bot AB: H \in AB \Rightarrow AH = \frac {a-b}{2} =1[/tex]
Тъй като се получава равнобедрен правоъгълен триъгълник, [tex]h=1[/tex]
[tex]S = (a+b). \frac {h}{2} = 9[/tex]
[tex]HB=\frac {a+b}{2} = 9[/tex]
[tex]BD = \sqrt {DH^2+HB^2} = \sqrt {1+81} = \sqrt {82}=d[/tex]

[mail_dinko]

По втората зад. косин.т.
[tex]BP^2 = PC^2+ BC^2 - 2. BC. PC cos 60 ^\circ[/tex]
[tex]49=PC^2+25-5PC[/tex]
[tex]PC^2-5PC-24=0[/tex]
[tex]D=25+96=121=11^2[/tex]
[tex]DM: PC>0[/tex]
[tex]PC = \frac{5+11}{2}=8[/tex]
[tex]\frac {AP}{PC} = \frac {13}{8} \Rightarrow AP=13 \Rightarrow AC=21[/tex]