Задачи геометрия

[MissGrotesque]

1. Четириъгълник ABCD е вписан в окръжност. Ако AD=7см, DC=15см, BC=8см и BDC=60[tex]^\circ[/tex], намерете страната AB, лицето на четириъгълника и радиуса на описаната около него окръжност.

2. В трапец ABCD (AB//CD) AB=15, BC=7, BD=8 и AD=13. Намерете:
а) периметъра на трапеца
б)лицето на трапеца

[Евва]

1. ([tex]\triangle[/tex]BCD -sin T)
Намирам R=[tex]\frac{8}{ \sqrt{3} }[/tex][tex]\approx[/tex]4,7 см.
Оказва се , че хордата CD=15 см. е по-голяма от диаметъра на окръжността .

[Евва]

2. CD=x=?
AB||CD [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]BDC (кръстни)
([tex]\triangle[/tex]ABD-cos T) 169=225+64-2.15.8.cos[tex]\angle[/tex]ABD [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\frac{120}{16.15}[/tex]=[tex]\frac{1}{2}[/tex]

([tex]\triangle[/tex]BCD-cos T) 49=[tex]x^{2 }[/tex]+64-2.8.x.cos[tex]\angle[/tex]BDC [tex]\Rightarrow[/tex] cos[tex]\angle[/tex]BDC=[tex]\frac{ x^{2 } +15}{16x}[/tex]

[tex]\frac{1}{2}[/tex]=[tex]\frac{ x^{2 } +15}{16x}[/tex] ; [tex]x^{2 }[/tex]-8x+15=0 ;D=16-15=1

[tex]x_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{4 \pm 1}{1}[/tex] намираме [tex]x_{1 }[/tex]=5 или [tex]x_{2 }[/tex]=3

1 случай CD=5
a)[tex]P_{ABCD }[/tex]=15+7+5+13=40
б)cos[tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\frac{1}{2}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\angle[/tex]ABD=[tex]\angle[/tex]HBD=60[tex]^\circ[/tex] [DH-височина на трапеца ]
([tex]\triangle[/tex]HBD -правоъгълен) [tex]\angle[/tex]BDH=180[tex]^\circ[/tex]-90[tex]^\circ[/tex]-60[tex]^\circ[/tex]= 30[tex]^\circ[/tex] ; от теорема [tex]\Rightarrow[/tex] BH=[tex]\frac{BD}{2}[/tex] т.е. BH=4
[tex]DH^{2 } +BH^{2}=BD^{2}[/tex] ; [tex]DH^{2 }[/tex]+16=64 ; DH=4[tex]\sqrt{3}[/tex]

[tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(AB+CD)DH}{2}[/tex]=[tex]\frac{(15+5)4 \sqrt{3} }{2}[/tex]=40[tex]\sqrt{3}[/tex]

2 случай CD=3
а) [tex]P_{ABCD }[/tex]=15+7+3+13=38
б) [tex]S_{ABCD }[/tex]=[tex]\frac{(AB+CD)DH}{2}[/tex]=[tex]\frac{(15+3)4 \sqrt{3} }{2}[/tex]=36[tex]\sqrt{3}[/tex]