Геометрични задачи

[Гост]

Здравейте, трябва ми помощ със следните задачи:

1. В равнобедрен триъгълник бедрото има дължина 16 см. Ако медианата към него е 12см, намерете лицето на триъгълника.

2. В равнобедрения ABC (AC=BC), точката O е център на вписаната в триъгълника окръжност. Разстоянието от точка O до основата AB= 3см, а OC=5см. Намерете:
а) периметъра на ABO
б) разстоянето от центъра O[tex]_{1 }[/tex] на описаната около ABC окръжност на бедрото AC

viber_image_2022-04-17_13-08-56-050.jpg (564.52 KiB) Прегледано 2463 пъти

[ammornil]

1. В равнобедрен триъгълник бедрото има дължина 16 см. Ако медианата към него е 12см, намерете лицето на триъгълника.

Screenshot 2022-04-17 140233.png (120.39 KiB) Прегледано 2431 пъти

2. В равнобедрения ABC (AC=BC), точката O е център на вписаната в триъгълника окръжност. Разстоянието от точка O до основата AB= 3см, а OC=5см. Намерете:
а) периметъра на ABO

б) разстоянето от центъра [tex]O_{1 }[/tex] на описаната около ABC окръжност на бедрото AC

Screenshot 2022-04-17 195203.png (129.86 KiB) Прегледано 2430 пъти

[Евва]

1. ( 2 начин -Херон )
p(ANC)=[tex]\frac{12+8+16}{2}[/tex]=18

[tex]S_{ABC }[/tex]=2[tex]S_{ANC }[/tex]=2[tex]\sqrt{18(18-12)(18-8)(18-16)}[/tex]=

=2[tex]\sqrt{18.6.10.2}[/tex]= 2[tex]\sqrt{3.6.6.5.2.2}[/tex]=

=2.12[tex]\sqrt{15}[/tex]=24[tex]\sqrt{15}[/tex]

[S.B.]

2. В равнобедрения ABC (AC=BC), точката O е център на вписаната в триъгълника окръжност. Разстоянието от точка O до основата AB= 3см, а OC=5см. Намерете:
а) периметъра на ABO
б) разстоянето от центъра O[tex]_{1 }[/tex] на описаната около ABC окръжност на бедрото AC

Без заглавие - 2022-04-18T150419.332.png (365.53 KiB) Прегледано 2398 пъти

Още един поглед върху задачата :

а)
падиусът на вписаната окръжност [tex]OT \bot BC, OT = OH = 3 , \triangle OTC[/tex] е правоъгълен , [tex]\Rightarrow CT = 4[/tex]
[tex]HB = BT = x[/tex]
[tex]\angle ACB = \gamma[/tex]
[tex]\triangle COT \approx \triangle CHB \Rightarrow \frac{OT}{HB} = \frac{OC}{BC } \Leftrightarrow \frac{3}{x} = \frac{5}{4 + x} \Rightarrow x = 6 , AB = 12[/tex]
$AO$ и $BO$ са ъглополовящи,[tex]\Rightarrow \angle AOB = 90 ^\circ + \frac{ \gamma }{2}[/tex]
От [tex]\triangle OTC \rightarrow \sin \frac{ \gamma }{2} = \frac{4}{5} , \cos \frac{ \gamma }{2} = \frac{3}{5}[/tex]
[tex]\cos AOB = \cos(90 ^\circ + \frac{ \gamma }{2} ) = -\sin \frac{ \gamma }{2} = - \frac{4}{5}[/tex]
За [tex]\triangle AOB[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]AB^{2 } = AO^{2 } + BO^{2 } - 2.AO.BO.\cos AOB[/tex]
$AO = BO = l$ ([tex]\triangle ABC[/tex] е равнобедрен)
Тогава [tex]12^{2 } = 2 l^{2 } + 2 l^{2 } \frac{4}{5} \Rightarrow l = 2 \sqrt{10}[/tex]
[tex]P_{AOB } = 12 + 4 \sqrt{10}[/tex]

б)
Центърът на описаната окръжност [tex]О_{1 }[/tex] е пресечна точка на симетралите на страните на триъгълника
[tex]S_{AC } \cap CH = O_{1 } , S_{AC } \cap AC = N , О_{1 }C = O_{1 }B = R[/tex](радиус на описаната окръжност)
От [tex]\triangle N O_{1 } C \rightarrow \frac{N O_{1 } }{R}= \sin \frac{ \gamma }{2} \Leftrightarrow N O_{1 } = \frac{4}{5}R[/tex]
За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Синусова теорема:
[tex]\frac{AB}{\sin \gamma } = 2R[/tex]
[tex]\sin \gamma = 2\sin \frac{ \gamma }{2}\cos \frac{ \gamma }{2} = 2. \frac{4}{5}. \frac{3}{5} = \frac{24}{25}[/tex]
[tex]\displaystyle\frac{12}{ \displaystyle\frac{24}{25} } = 2R \Rightarrow R = \displaystyle \frac{25}{4}[/tex]
По-горе получих,че [tex]NO_{1 } = \frac{4}{5}R \Leftrightarrow N O_{1 } = \frac{4}{5}. \frac{25}{4} \Rightarrow N O_{1 } = 5[/tex]

[ammornil]

По-горе получих,че [tex]NO_{1 } = \frac{4}{5}R \Leftrightarrow N O_{1 } = \frac{4}{5}. \frac{25}{4} \Rightarrow N O_{1 } = 5[/tex]

Решението е много интересно, но аз имам въпрос: Ако [tex]N O_{1 } = 5,[/tex] от подточка (а) [tex]BC=AC=10[/tex] [tex]\Rightarrow AN=5, \Rightarrow ANO_{1}-[/tex] правоъгълен, равнобедрен, [tex]\Rightarrow АO_{1}=R=5\sqrt{2},[/tex] но по-горе [tex]R=\frac{25}{4}[/tex], излиза че рационална дроб е равна на ирационален едночлен... не виждам откъде идва разликата...

[Евва]

2 зад. Мисля ,че разликата в отговорите идва от следното :
S.B. намира sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] и cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] .

Според мен sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] и cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] .

[S.B.]

2 зад. Мисля ,че разликата в отговорите идва от следното :
S.B. намира sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] и cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] .

Според мен sin[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{3}{5}[/tex] и cos[tex]\frac{ \gamma }{2}[/tex]=[tex]\frac{4}{5}[/tex] .

Както винаги Евва е права!
Разбира се,че от [tex]\triangle OCT \rightarrow \sin \frac{ \gamma }{2}= \frac{3}{5},\ cos \frac{ \gamma }{2} = \frac{4}{5}[/tex]
Това го знаят и децата!Такава грешка би могла да се прости само на влюбен човек,ама на мен отдавна ми е минало времето за такива красиви грешки!
Извинявам се!

[ammornil]

Благодаря за разяснението, аз приех, че тригонометричните фунцкии са верни.

Що се отнася до любовта и влюбването: Аз не мисля, че възрастта е от значение.

[Гост]

Моля за помощ за задачи по геометрия за 10 клас

[ammornil]

Правилна призма, означава че всички основни ръбове са равни помежду си, всички околони ръбове са равни помежду си, и околните ръбове са перпендикулярни на основата.

Лицето на повърхнината на [tex]n-[/tex]странна правилна призма е [tex]S_{1}=2\cdot{B}+n\cdot{a}\cdot{l}, \hspace{2em} \begin{cases} B- \text{ лице на основата на призмата} \\ a- \text{ дължина на основния ръб} \\ l- \text{ дължина на околния ръб} \end{cases}[/tex]

Обемът на [tex]n-[/tex]странна правилна призма е [tex]V=B\cdot{l}, \hspace{2em} \begin{cases} B- \text{ лице на основата на призмата} \\ l- \text{ дължина на околния ръб} \end{cases}[/tex]

**!: Всички дължини трябва да са е една и съща мерна единица преди да заместим във формулите по-горе.

1) Основата е равностранен триъгълник. [tex]a=4[cm], l=5[cm], n=3[/tex]
Лицето на основата е [tex]B=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]B=4\sqrt{3}\>[cm^{2}], \hspace{2em} S_{1}=2\cdot{B}+n\cdot{a}\cdot{l}=8\sqrt{3}+60=4(2\sqrt{3}+15)\>[cm^{2}], V=B.l=20\sqrt{3}\>[cm^{3}][/tex]

2)Задачата не е добре дефинирана, тук трябва да се уточни дали основата е ромб или квадрат. Понеже е дадена само страна на основата ще приемем, че авторите са имали в предвид квадрат.
Основата е квадрат. [tex]a=6[cm], l=8[cm], n=4[/tex]
Лицето на основата е [tex]B=a^{2}[/tex]

Скрит текст: покажи

[tex]B=36\>[cm^{2}], \hspace{2em} S_{1}=2\cdot{B}+n\cdot{a}\cdot{l}=72+192=264\>[cm^{2}], V=B.l=288\>[cm^{3}][/tex]