Геометрична и аритметична прогресия

[Гост]

Сборът на три числа, които са последователни членове на геометрична прогресия, е 28. Ако към второто число добавим 2, ще се получат три последователни члена на аритметична прогресия. Намерете първоначанлите числа.

[S.B.]

Сборът на три числа, които са последователни членове на геометрична прогресия, е 28. Ако към второто число добавим 2, ще се получат три последователни члена на аритметична прогресия. Намерете първоначанлите числа.

Нека първоначалните числа са :
$$a , aq , a q^{2 } $$
[tex]\frac{..}{..} a, aq , a q^{2 }[/tex]
Според условието [tex]a + aq + a q^{2 }= 28[/tex]

[tex]\div a, aq + 2 , a q^{2 }[/tex]
Според НДУ за съществуване на аритметична прогресия [tex]2(aq + 2) = a + a q^{2 }[/tex]

Образувам системата:
[tex]\begin{array}{|l} a + aq + a q^{2 } = 28 \\ 2(aq + 2) = a + aq^{2 } \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a + aq + a q^{2 }= 28 \\ a - 2aq + a q^{2 } = 4 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a(1 + q + q^{2 }) = 28 \\ a(1 - 2q + q^{2 } = 4 \end{array}[/tex]

Деля почленно двете уравнения:

[tex]\frac{a(1 + q+ q^{2 } )}{a(1 - 2q + q^{2 }) } = \frac{28}{4} \Leftrightarrow \frac{1 + q + q^{2 } }{1 - 2q + x^{2 } } = 7 \Leftrightarrow...2 q^{2 } - 5q + 2 = 0 ,D = 9 , q_{1,2 } = \frac{5 \pm 3}{4}[/tex]

1) [tex]q = 2 , a(1 + q + q^{2 }) = 28 \Leftrightarrow a(1 + 2 + 4) = 28 \Rightarrow a = 4[/tex]

2)[tex]q = \frac{1}{2} , a( 1 + \frac{1}{2}+ \frac{1}{4} = 28 \Rightarrow a = 16[/tex]

Първоначалните числа са:
$$4 , 8 , 16$$
$$16, 8 ,4$$