Ъглополовяща

[Гост]

Намерете ъглополовящите на триъгълник АBC със страни a = 5 ,b = 12 и c = 13

[S.B.]

Намерете ъглополовящите на триъгълник АBC със страни a = 5 ,b = 12 и c = 13

Без заглавие - 2022-05-11T202128.499.png (234.59 KiB) Прегледано 1010 пъти

При решаването на задачи свързани с ъглополовящи на триъгълник, обикновено се използва следната формула:
$$l_{ \gamma } ^{2 } = ab - mn$$ където $$m = \frac{bc}{a + b}$$ $$n = \frac{ac}{a + b}$$

Ако Вие все още не сте изучавали тази формула , аз Ви предлагам друго решение на задачата:

За [tex]\triangle ABC[/tex] прилагам Косинусова теорема:
[tex]\cos \gamma = \frac{ AB^{2 } - AC^{2 } - BC^{2 } }{-2.AC.BC} \Leftrightarrow \cos \gamma = \frac{ 13^{2 } - 12^{2 } - 5^{2 } }{- 2.12.5} = 0[/tex]
[tex]\cos \gamma = 0 \Rightarrow \gamma = 90 ^\circ \Rightarrow \triangle ABC[/tex] е правоъгълен.
Нека [tex]A L_{1 } = l_{ \alpha } , L_{1 }C = x \Rightarrow L_{1 }B = 5 - x[/tex]
От свойството на ъглополовящата намирам [tex]\frac{ L_{1 }C }{ L_{1 }B } = \frac{AC}{AB} \Leftrightarrow \frac{x}{5 - x} = \frac{12}{13} \Leftrightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{5} \Rightarrow L_{1 }C = \frac{12}{5}[/tex]
За [tex]\triangle AL_{1 }C[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]A L_{1 } ^{2 } = AC^{2 } + C L_{1 } ^{2 } \Leftrightarrow l_{ \alpha } ^{2 } = 12^{2 } + ( \frac{12}{5}) ^{2 } \Rightarrow l_{ \alpha } = \frac{12 \sqrt{26} }{5}[/tex]

Нека [tex]BL_{2 } = l_{ \beta } , CL_{2 } = y , AL_{2 } = 12- y[/tex]
От свойството на ъглополовящите:
[tex]\frac{C L_{2 } }{A L_{2 } } = \frac{CB}{AB} \Leftrightarrow \frac{y}{12 - y} = \frac{5}{13} \Rightarrow B L_{2 } = \frac{10}{3}[/tex]
За [tex]\triangle BC L_{2 }[/tex] Прилагам Питагорова теорема:
[tex]B L_{2 } ^{2 } = C L_{2 } ^{2 } + BC^{2 } \Rightarrow l_{ \beta } = \frac{5 \sqrt{13} }{3}[/tex]

За намиране на ъглополовящата [tex]CL_{3 }[/tex] ще използвам лицето на [tex]\triangle ABC[/tex]:
Нека [tex]CL_{3 } = l_{ \gamma }[/tex]
[tex]\angle AC L_{3 } = \angle BC L_{3 } = 45 ^\circ[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{AC.BC}{2} = \frac{12.5}{2} = 30[/tex]
[tex]S_{1 } = S_{AC L_{3 } } + S_{BC L_{3 } }[/tex]
[tex]\frac{AC. l_{ \gamma } }{2}\sin 45 ^\circ + \frac{BC. l_{ \gamma } }{2}\sin 45 ^\circ = 30 \Leftrightarrow \frac{ l_{ \gamma } \sin 45 ^\circ }{2}( 12 + 5) = 30 \Leftrightarrow l_{ \gamma } \frac{17 \sqrt{2} }{4} = 30 \Rightarrow l_{ \gamma } = \frac{60 \sqrt{2} }{17}[/tex]