Метрични зависимости

[Гост]

1)Вписаната в правоъгълен триъгълник ABC окръжност допира хипотенузата в точка M, AM = 3, BM = 10. Да се намери радиусът на окръжността.

2) Намерете основата на равнобедрен триъгълник, ако височината към основата е 36 см. и радиусът на вписаната окръжност е 10см.

[Евва]

1)
[tex]\begin{array}{|l} tg \frac{ \alpha }{2} = \frac{r}{3} \\ tg(45 ^\circ - \frac{ \alpha }{2}) = \frac{r}{10} \\tg(45 ^\circ- \frac{ \alpha }{2})= \frac{tg45 ^\circ-tg \frac{ \alpha }{2} }{1+tg45 ^\circ.tg \frac{ \alpha }{2} } \end{array}[/tex]

[tex]\frac{r}{10}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{1}{1} - \frac{r}{3} }{ \frac{1}{1} +1.\frac{r}{2} }[/tex]

[tex]\frac{r}{10}[/tex]=[tex]\frac{ \frac{3-r}{3} }{ \frac{2+r}{2} }[/tex]

[tex]\frac{r}{10}[/tex]=[tex]\frac{2(3-r)}{3(2+r)}[/tex]

3[tex]r^{2 }[/tex]+26r-60=0 ; k=13 ,D=169+180=349

[tex]r_{1,2 }[/tex]=[tex]\frac{-13 \pm \sqrt{349} }{3}[/tex]

r=[tex]\frac{ \sqrt{349} -13}{3}[/tex]

[S.B.]

2) Намерете основата на равнобедрен триъгълник, ако височината към основата е 36 см. и радиусът на вписаната окръжност е 10см.

Без заглавие - 2022-05-12T211112.127.png (236.04 KiB) Прегледано 332 пъти

[tex]OH = OT = r =10 , HB = TB = x, CO = 26[/tex]
За [tex]\triangle COT[/tex] прилагам Питагорова теорема и получавам :
[tex]CT^{2 } = CO^{2 } - OT^{2 } \Leftrightarrow CT^{2 } = 26^{2 }- 10^{2 } \Leftrightarrow CT^{2 } = 576 \Rightarrow CT = 24[/tex]
[tex]\triangle COT \approx \triangle HBC \Leftrightarrow \frac{HB}{OT} = \frac{CH}{CT} \Leftrightarrow \frac{x}{10}= \frac{36}{24} \Rightarrow x = 15[/tex]
$$AB = 2x = 30 $$