Окръжност

[Гост]

Точка P е на разстояние 6 см от центъра О на окръжност с радиус 10см. През P е построена хорда AB, като AP:PB = 4:9.
PB=?

[S.B.]

Точка P е на разстояние 6 см от центъра О на окръжност с радиус 10см. През P е построена хорда AB, като AP:PB = 4:9.
PB=?

Без заглавие - 2022-05-14T212206.620.png (243.1 KiB) Прегледано 333 пъти

[tex]AB = 13x , x > 0, OQ \bot AB , AQ = QB = 6,5x , OP = d[/tex]
За [tex]\triangle OPQ[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OQ^{2 } + PQ^{2 } = OP^{2 } \Leftrightarrow d^{2 } + (2,5x)^{2 } = 36[/tex]
За [tex]\triangle OBQ[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]OQ^{2 } + BQ^{2 } = OB^{2 } \Leftrightarrow d^{2 } + (6,5x)^{2 } = 100[/tex]

[tex]\begin{array}{|l} d^{2 } + (6,5x)^{2 } = 100 \\ d^{2 }+ (2,5x)^{2 } = 36\end{array}[/tex]
Изваждам почленно и получавам:
[tex](6,5x)^{2 } - (2,5x)^{2 } = 100 - 36 \Leftrightarrow (6,5x + 2,5x)(6,5x - 2,5x) = 64[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 9x.4x = 64 \Leftrightarrow 36 x^{2 }= 64 \Rightarrow x = \pm \frac{4}{3},x>0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}[/tex]
[tex]PB = 9x \Rightarrow PB = 9.\frac{4}{3}[/tex]
$$\Rightarrow PB = 12 cm $$

[Евва]

( 2 начин ) Нека правата РО пресича окр. в точките С и D , като т.С лежи на малката дъга АВ ,
а т. D лежи на голямата дъга АВ .
CP=CO-PO=10-6=4 см.
PD=CD-CP=20-4=16 см.

Хордите АВ и CD се пресичат [tex]\Rightarrow[/tex] AP.PB=CP.PD
4x.9x=4.16
x=[tex]\frac{4}{3}[/tex]

PB=9x=9.[tex]\frac{4}{3}[/tex]=12 см.