Интересна задача

[Гост]

Ъглополовящата AL в триъгълника ABC разделя страната BC на части с дължина BL=6; CL=3. Допирателната в точка A към описаната около триъгълника окръжност пресича правата BC в точка P. Намерете дължините на CP и AP.

[S.B.]

Ъглополовящата AL в триъгълника ABC разделя страната BC на части с дължина BL=6; CL=3. Допирателната в точка A към описаната около триъгълника окръжност пресича правата BC в точка P. Намерете дължините на CP и AP.

Без заглавие - 2022-05-15T225038.579.png (274.05 KiB) Прегледано 335 пъти

$$ AP^{2 } = PC.PB $$
От свойството на ъглополовящата [tex]\rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{3}{6} \Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{1}{2}[/tex]

[tex]\triangle PAC \approx \triangle PAB[/tex]

[tex]\angle APB = \angle APC = \varphi[/tex] (общ)

[tex]\angle CAP = \angle PBA = \displaystyle\frac{1}{2} \overset{\displaystyle\frown}{AC}[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{AC}{AB} = \frac{AP}{BP}[/tex]

Нека $AP = y>0 , PC = x>0$

[tex]PC = x \Rightarrow PB = x + 9[/tex]

Тогава [tex]\frac{AC}{AB} = \frac{AP}{BP} \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{y}{x + 9} \Rightarrow y = \frac{x + 9}{2}[/tex]

Получавам [tex]AP^{2 } = PC.PB \Leftrightarrow y^{2 } = x.(x + 9) \Leftrightarrow \frac{ (x + 9)^{2 } }{4} = x(x + 9) \Leftrightarrow (x+9)^{2 } - 4x(x+9) = 0[/tex]

[tex](x + 9)^{2 } - 4x(x + 9) = 0 \Leftrightarrow (x + 9)(x + 9 - 4x) = 0 \Leftrightarrow (x + 9)(9 - 3x) = 0[/tex]

[tex]x + 9 \ne 0[/tex] защото [tex]PC = x > 0 \Rightarrow x \ne - 9[/tex]

[tex]9 - 3x = 0 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow PC = 3[/tex]

[tex]PA = \frac{x + 9}{2} = \frac{3 + 9}{2} = 6[/tex]
$$\Rightarrow PA = 6 , PC = 3$$