Права триъгълна призма

[MissGrotesque]

Права триъгълна призма АВСА[tex]_{1 }[/tex]В[tex]_{1 }[/tex]С[tex]_{1 }[/tex]има основни ръбове АВ=7, ВС=8 и СА=9 и обем 120[tex]\sqrt{5}[/tex]. Намерете:
а) височината на призмата
б) повърхнината на призмата
в) косинуса на ъгъл между правите АВ и А[tex]_{1 }[/tex]С[tex]_{1 }[/tex]

[ammornil]

Права триъгълна призма АВСА[tex]_{1 }[/tex]В[tex]_{1 }[/tex]С[tex]_{1 }[/tex]има основни ръбове АВ=7, ВС=8 и СА=9 и обем 120[tex]\sqrt{5}[/tex]. Намерете:
а) височината на призмата
б) повърхнината на призмата
в) косинуса на ъгъл между правите АВ и А[tex]_{1 }[/tex]С[tex]_{1 }[/tex]

220519_002.png (11.23 KiB) Прегледано 1255 пъти

Дадено:
[tex]ABCA_{1}B_{1}C_{1}, \phantom{Q} p(ABC) || p(A_{1}B_{1}C_{1}), \phantom{Q} AA_{1} \bot p(ABC), BB_{1} \bot p(ABC), CC_{1} \bot p(ABC)[/tex]
[tex]AB=c=7, BC=a=8, AC=b=9, \phantom{Q} V_{_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=120\sqrt{5}[/tex]
Търсим:
(а) [tex]H_{_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}[/tex]
(б) [tex]S_{1_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}[/tex]
(в) [tex]\cos{\angle(AB,A_{1}C_{1})}[/tex]

Решение:
(A) Полупериметърът на основата е: [tex]p=\frac{a+b+c}{2}=12[/tex]

Лицето на основата e: [tex]B=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{12.5.4.3}=12\sqrt{5}[/tex]

Височината на пирамидата намираме от обемът на призмата: [tex]V=B.H \Rightarrow H=\frac{V}{B}=\frac{120\sqrt{5}}{12\sqrt{5}}=10[/tex]

(Б) [tex]S_{1_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}}=2B+P.H=2.120\sqrt{5}+24.10=240(1+\sqrt{5})[/tex]

(В) Понеже имаме права призма, околните ръбове са перпендикулярни на основите, следователно всяка страна на долната основа е ортогонална проекция на съответната страна от горната основа. Оттук следва, че [tex]AC[/tex] е ортогоналната проекция на [tex]A_{1}C_{1}[/tex] в равнината [tex]p(ABC)[/tex]. Тогава търсеният ъгъл е ъгълът между [tex]AC[/tex] и [tex]AB \Rightarrow \cos{\angle(AB,A_{1}C_{1})}=\cos{\angle CAB}[/tex]

Косинусова Теорема за [tex]\triangle ABC \rightarrow CB^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2.AB.AC.\cos{\angle CAB} \Rightarrow[/tex]

[tex]\cos{\angle CAB}=\frac{AB^{2}+AC^{2}-CB^{2}}{2.AB.AC}=\frac{7^{2}+9^{2}-8^{2}}{2.7.9}=\frac{49+81-64}{2.7.9}=\frac{2.3.11}{2.7.3.3}=\frac{11}{21}[/tex]