Равностранен триъгълник

[Гост]

Даден е равностранен триъгълник ABC, в който точка O е пресечната точка на височините. Точка K дели страната BC в отношение CK :KB =1:4, а KO∩ AB = N . Да се намери лицето на триъгълник ABC, ако ON =1см.

111111.jpg (591.66 KiB) Прегледано 389 пъти

[S.B.]

Даден е равностранен триъгълник ABC, в който точка O е пресечната точка на височините. Точка K дели страната BC в отношение CK :KB =1:4, а KO∩ AB = N . Да се намери лицето на триъгълник ABC, ако ON =1см.

Без заглавие - 2022-05-26T143811.880.png (242.12 KiB) Прегледано 380 пъти

Нека [tex]\triangle ABC[/tex] има страна $a$,а височините,медианите и ъглополовящите,които съвпадат са [tex]\frac{a \sqrt{3} }{2}[/tex]
Използвам и ,че в пресечната си точка $O$ се дeлят в отношение $2:1$
[tex]CK:KB = 1:4 \Rightarrow CK = \frac{a}{5} , BK = \frac{4a}{5}[/tex]
Височината [tex]CH = \frac{a \sqrt{3} }{2} , HO = \frac{1}{3} CH \Rightarrow HO = \frac{a \sqrt{3} }{6 } , CO = \frac{a \sqrt{3} }{3}[/tex]
[tex]\triangle EKC :[/tex] (правоъгълен , [tex]\angle ECK = 30 ^\circ[/tex])
[tex]KC = \frac{a}{5 } ,EK = \frac{a}{10} ,CE = \frac{a \sqrt{3} }{10}[/tex]
[tex]EO = CO - CE = \frac{7a \sqrt{3} }{30}[/tex]
[tex]\triangle EKO \approx \triangle NHO \Rightarrow \displaystyle \frac{EK}{NH} = \displaystyle \frac{EO}{OH} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{10} }{x} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{7a \sqrt{3} }{30} }{\displaystyle \frac{a \sqrt{3} }{6} }.... \Rightarrow x = \displaystyle \frac{a}{14} \Rightarrow NH = \displaystyle \frac{a}{14}[/tex]
За [tex]\triangle HNO[/tex] прилагам Питагорова теорема:
[tex]ON^{2 } = HN^{2 } + HO^{2 } \Leftrightarrow 1 = ( \frac{a}{14}) ^{2 } + ( \frac{a \sqrt{3} }{6}) ^{2 } \Leftrightarrow 1 = a^{2 }( \frac{13}{147}) \Rightarrow a^{2 } = \frac{147}{13}[/tex]
[tex]S_{ABC } = \frac{ a^{2 } \sqrt{3} }{4} = a^{2 } \frac{ \sqrt{3} }{4} = \frac{147}{13} \frac{ \sqrt{3} }{4} \Rightarrow[/tex]
$$S_{ABC } = \frac{147 \sqrt{3} }{52} $$