Триъгълник

[MissGrotesque]

В ABC (ACB=90°) BC=6 cm и cos ABC= [tex]\frac{3}{5}[/tex]. Намерете:
а) периметъра на ABC
Б) разстоянието от медицентъра G до хипотенузата AB
в) разстоянието от медицентъра G до височината към хипотенузата

[Евва]

Нека СМ и СН са съответно медиана и височина към хипотенузата АВ .
а) AC=b=? AB=c=?

cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{a}{c}[/tex] ; [tex]\frac{3}{5}[/tex]=[tex]\frac{6}{c}[/tex] ; c=10 см.
Чрез Питагор. теорема намираме b=8 см.
[tex]Р_{АВС }[/tex]=6+ 8 +10 = 24см.

б) Построявяме GE -височината в [tex]\triangle[/tex]MBG .
GE=x=?
[tex]\triangle[/tex]ABC -правоъг. [tex]\Rightarrow[/tex] медианата CM=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] ; CM=5 см.

Скрит текст: покажи

Медицентърът т. G дели медианата СМ в отношение 2:1 считано от върха - т.С .

CG=2MG (1) ; от чертежа CG+MG=CM (2)
2MG+MG=5 [tex]\Rightarrow[/tex] MG=[tex]\frac{5}{3}[/tex] см.

медианата СМ=[tex]\frac{AB}{2}[/tex] =MB [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]\triangle[/tex]МВС е равнобедрен [tex]\Rightarrow[/tex]
[tex]\angle[/tex]CMB=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\beta[/tex] , значи [tex]\angle[/tex]GME=180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\beta[/tex]

([tex]\triangle[/tex]MEG- правоъг.) sin(180[tex]^\circ[/tex]-2[tex]\beta[/tex]) =[tex]\frac{x}{MG}[/tex]

sin2[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{x}{ \frac{5}{3} }[/tex] ; 2sin[tex]\beta[/tex].cos[tex]\beta[/tex]=[tex]\frac{3x}{5}[/tex] ; 2.[tex]\frac{8}{10}[/tex].[tex]\frac{6}{10}[/tex]=[tex]\frac{3x}{5}[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] x=1,6 см.