Аритметична, геометрична прогресия

[Гост]

Здравейте, трябва ми помощ със следните задачи,

1. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 12. Ако второто число намалим с 1, а третото увеличим с 2 ще се получат 3 числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете числата.

2. Сборът на три числа,които образуват аритметична прогресия,е 30.Ако от първия член извадим 1и към третия добавим 6 ще получим три последователни числа образуващи геометрична прогресия.Намерете първите три числа.

[S.B.]

1. Сборът на три числа, образуващи аритметична прогресия, е 12. Ако второто число намалим с 1, а третото увеличим с 2 ще се получат 3 числа, които образуват геометрична прогресия. Намерете числата.

Представяме числата по следния начин:
[tex]\div a - d , a , a+ d \Rightarrow[/tex] по условие $a - d + a + a+d = 12$

[tex]\frac{..}{..} a - d , a - 1 , a + d + 2 \Rightarrow (a - 1)^{2 } = (a - d)(a + d + 2)[/tex] ( От НДУ за съществуване на геометрична прогресия)
Образувам система:

[tex]\begin{array}{|l} a - d + a + a + d = 12 \\ (a - 1)^{2 } = (a - d)(a + d + 2) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 4 \\ 3^{2 } = (4 - d)(6 + d) \end{array} \Rightarrow[/tex]
[tex]d^{2 } + 2d - 15 = 0 , D = 64 , d_{1,2 }= -5 ; 3[/tex]
Получаваш две тройки числа:
$9,4,-1$ и $1,4 ,7$

[S.B.]

2. Сборът на три числа,които образуват аритметична прогресия,е 30.Ако от първия член извадим 1и към третия добавим 6 ще получим три последователни числа образуващи геометрична прогресия.Намерете първите три числа.

Числата са:
[tex]\div a - d, a , a + d[/tex]
[tex]\frac{..}{..} a - d - 1 , a , a + d + 6[/tex]
Като използвам че сбора на числата е $30$, и НДУ за съществуване на геометрична прогресия съставям системата:

[tex]\begin{array}{|l} a - d + a + a + d = 30 \\ a^{2 } = (a - d - 1)(a + d + 6) \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} a = 10 \\ 10^{2 } = (9 - d)(16 + d) \end{array}[/tex]
Решаваш сиситемата и получаваш $a = 10$ ,[tex]d_{1 } = -11; d_{2 } = 4[/tex]
Нататък е лесно!Успех!